関数の微分について

質問

関数:u(t,x,y)=((1-t)x+ty)の微分が
∂u/∂t=y-x
になることはわかりますが、
u((1-t)x+ty)を微分した時はどうなるのでしょうか？

回答No.4

statecollege · ベストアンサー

＞関数の微分について
関数:u(t,x,y)=((1-t)x+ty)の微分が
∂u/∂t=y-x
になることはわかりますが、
u((1-t)x+ty)を微分した時はどうなるのでしょうか？

ANo２で指摘したように、この問題は関数u（・）がきちんと定義されていないので、このままでは回答者は誰もちゃんと回答できないでしょう。
最初の関数u(t,x,y)=((1-t)x+ty)はわかる。ただし、たいていの回答者はたぶんt、ｘ、ｙをそれぞれ１次元の変数として、つまりu（・）の定義域をR＾３として考えるでしょう。しかし、2番目の合成関数？と思われる関数u((1-t)x+ty)は、最初のu（・）が与えられたとき、何を意味しているのか、最初のu（・）とどう関係しているのか、誰にも理解不能です！ この2番目のu(・)の定義域は何だ、と。定義域はR^3からRへ変わってしまったのか？変わってしまったら、別の関数だ！私はたまたまあなたのもう一つの質問を知っているので、言おうとしていることが分かるので、ANO2のように書き換えたのです。

あなたはまだこの質問が変な質問だということがわかりませんか？関数とは何か？定義域とは何か？値域とは何かをちゃんと理解しているのでしょうか？？

お礼

丁寧な回答と、私の無知を指摘していただいてありがとうございます。

回答No.3

statecollege

>∇u((1-t)x+ty)*(y-x). ---(B)
と、ありますが、私の頭のレベルでは、合成関数の微分は、
合成関数u(z(t)) のt微分を考えたとき、
∂u/∂t=(∂u/∂z)*(∂z/∂t)
なのですが、これで、表現することは可能なのでしょうか？

以上は、あなたのもう一つの質問の補足質問からとったものですが、そちらはそちらの回答者が回答するでしょうが、ここでの問題に関係するので、回答しておきます。
上の一番下のの式に現れるｚはベクトル

　　z = (z1,z2,・・・,zn) = ((1-t)x1+y1, (1-t)x2+ty2, ・・・, (1-t)xn+tyn )

であることを忘れないでください！このとき、あなたの∂u/∂ｚとはどう意味でしょうか？？通常は、∂u/∂ｚはｚが1次元の変数（scaler）のとき用いられる記号です。代わりに、ｚがベクトルのときは

　　Du(z) = (∂u/∂z1, ∂u/∂z2, ・・・,　∂u/∂zn) = (∂u(z)/∂x1, ∂u(z)/∂(x2), ・・・, ∂u(z)/∂(xn))

あるいはこの横ベクトルを縦ベクトルにした

　　∇u（ｚ）

を用います。したがって、あなたの∂u/∂ｚをこのように解釈するなら正しいのですが、普通はこれらの記号を用います。また、∂z/∂tについても、ｚはベクトルであるので、∂z/∂tはベクトルで

(y1-x1, y2-x2, ・・・, yn-xn)

（あるいはこれの縦ベクトル）と解釈し、＊は単なる掛け算の記号ではなく、内積を表わす記号であると解釈する必要があります（私は＊の代わりにドット・を使っています）。なお、ｘ、ｙをn次元ベクトルとするとき、ｘとｙの内積とは

　　x＊ｙ = x・y = ∑ｘiyi = x1y1 + x2y2 + ・・・+ xnyn

のことです。

回答No.2

statecollege

関数は定義域、値域を明確にしないと、混乱するだけです。あなたの質問の後者の関数u(・）はR^nからRへの関数、すなわち、

　　u: R^n → R

で定義される関数u(x) =u(x1,x2,・・・,xn)ですよね。そうなら、そうか書かないと回答者は混乱するだけです。そうだとすると、

　　ｚ≡(1-t)x+ ty (∈R^n)

とおき、

　　u[(1-t)x+ty] = u(z)

をｔで微分するためには、合成関数の微分の公式を使ってuをｚについて微分して、それをｚをｔについて微分したものを掛ける。すなわち、

　　∂u(z)/∂ｘ１・∂z/∂ｔ　+　∂u(z)/∂x2・∂z/∂t　+　・・・　＋∂u(z)/∂ｘｎ・∂ｚ/∂ｔ

=　（∂u(z)/∂x1, ∂u(z)/∂x2,　…,　∂u(z)/∂xｎ）・∂z/∂t

= ∇u(z)・∂z/∂ｔ

=∇u[(1-t)x+ty]・（y-x)

となる。ここで、・は内積を表わし、∂z/∂t = - y + x = y - xとなることに注意。

回答No.1

spring135

u(t)=((1-t)x+ty)

z=((1-t)x+tyとおくと

u((1-t)x+ty)=u(z)=(1-z)x+zy

要するに関数の関数の微分です。

du(z)/dt=(dz/dt)(du(z)/dz)=(y-x)(y-x)=(y-x)^2

補足

u(t,x,y)=((1-t)x+ty)の微分は
du/dt=y-xで、
u((1-t)x+ty)の微分が
du(z)/dt=(dz/dt)(du(z)/dz)=(y-x)(y-x)=(y-x)^2
ということでしょうか？