関数の微分

質問

関数の微分

いつもお世話になります。
また教科書の問題が解けないのでどなたかお力をお貸しください。

(x+1)^4・(2x-1)^3 の微分です。
x+1 = u 、2x-1 = t とすると、
(u^4・t^3)' = 4u^3・t^3 + u^4・3t^2
　　　　　　 = u^3・t^2 (4t + 3u)
ここでuとtを元に戻すと、
(x+1)^3・(2x-1^2・(11x-1) となってしまうのですが、
教科書の答えは
(x+1)^3・(2x-1^2・(14x+2)　なのです。
どこで間違いがあったのでしょうか？

お手数ですが、どうぞよろしくお願いいたします。

回答No.4

Knotopolog · ベストアンサー

(x＋1)^4・(2x－1)^3 の微分。
x＋1 ＝ u 、2x－1 ＝ t とすると、

(u^4・t^3)' ＝ 4u^3・u'・t^3 ＋ u^4・3t^2・t'

u' と t' は，x＋1 ＝ u 、2x－1 ＝ t を x 微分して，

u'＝1， と t'＝2 となります．したがって，

(u^4・t^3)' ＝ 4u^3・t^3 ＋ u^4・3t^2・2

(u^4・t^3)' ＝ 4u^3・t^3 ＋ 6u^4・t^2

(u^4・t^3)' ＝ 2 u^3・t^2・( 2 t ＋ 3 u )

(u^4・t^3)' ＝ 2 ( x＋1 )^3・( 2x－1 )^2・( 2 ( 2x－1 ) ＋ 3 ( x＋1 ) )

(u^4・t^3)' ＝ 2 ( x＋1 )^3・( 2x－1 )^2・( 4x－2 ＋ 3 x＋3 )

(u^4・t^3)' ＝ 2 ( x＋1 )^3・( 2x－1 )^2・( 7x＋1 )

(u^4・t^3)' ＝ ( x＋1 )^3・( 2x－1 )^2・( 14x＋2 )　　・・・答え

お礼

詳しく説明してくださって、本当にありがとうございます。
やっとわかるようになりました！
基礎がわかっていなくて恥ずかしい限りです・・・
また何かございましたら、どうかよろしくお願いいたします。

回答No.3

alice_44

(f・g)' = f'g + fg' だからこそ、
(d/dx)(u^4・t^3) = d(u^4)/dx・(t^3) + (u^4)・d(t^3)/dx であって
(d/dx)(u^4・t^3) = d(u^4)/du・(t^3) + (u^4)・d(t^3)/dt じゃないよ
ってことです。
d(u^4)/dx = d(u^4)/du・(du/dx) = 4u^3・{ d(x+1)/dx }

お礼

前回もご回答ありがとうございます！！不出来な生徒でご迷惑おかけします。

今日は大学の勉強会に行って(通信なのでレポート締め切り前に勉強会があるのです)
alice 44様のご回答の説明を聞いてきて、やっとわかるようになりました！
どうもありがとうございます！！！

回答No.2

noname#185706

>u^4・3t^2　にx2をするのでしょうか？

はい。
合成関数の微分になっていますから
(u^4・t^3)' = 4u^3・du/dx・t^3 + u^4・3t^2・dt/dx
で、
du/dx = 1
dt/dx = 2
です。

お礼

どうもありがとうございます！
ということは、
(f・g)' = f'g + fg'ではなく、
(f・g)' = f'g・du/dx + fg'・dt/dx　ということなのでしょうか？
教科書を見ても見つからないので・・・(汗)
基本的な知識もなくてすみません。

回答No.1

noname#185706

>(u^4・t^3)' = 4u^3・t^3 + u^4・3t^2

第２項に　×２

お礼

ご回答ありがとうございます。

第２項というと、u^4・3t^2　にx2をするのでしょうか？
公式は、(f・g)' = f'g + fg'　で合ってますよね？
すみません、お手数ですがもう一度お教え願えませんでしょうか？