内積の微分の証明

質問

内積の微分の式が、普通の関数の積の微分と同じ式で表されることを示す、という問題です。

u(t),v(t)(ともにベクトル）がR^2上に値を持つ関数のとき、
(d/dt)(u(t)・v(t))=(du(t)/dt)・v(t)+u(t)・(dv(t)/dt)
を示せ。

積の微分を用いて示せるらしいんですけど、ベクトルのときも積の微分を導くみたいに
u(t+Δx)とかで微分の定義式に入れてしまえば良いのでしょうか？？

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

その方法でもＯＫですけど、

u(t)・v(t)
=u_x(t) v_x(t) + u_y(t) v_y(t)

を微分する事を考えれば、すぐに分かるのではないでしょうか。

補足

早速の解答、ありがとうございます。

この場合、u_x(t)の"_"は、かけ算の意味にとって良いのでしょうか。
それと、x,yはベクトルの意味で良いのでしょうか。
イマイチ、ｘとｙの使い方が分からないもので・・・。

ベクトル u(t)を成分表示にすると、

　　　u1(t)
　　　u2(t)
　　　　・
u(t)＝　・
・
　　　un(t)

となりますよね？x、yはどのようにして使われているのですか？

回答No.3

eatern27

ちゃんとした証明ではなく、証明の流れが、頭の中で追えればいいかな、と思ってたんですが、よく考えると、最初くらいは、ちゃんとした証明を見ておいた方がよいかもしれませんね。

(d/dt)(u(t)・v(t))
=(d/dt)(Σu_i v_i)　　　(内積の定義)
=Σ(d/dt)(u_i v_i)　　　(d/dtとΣを入れ換えた)
=Σ{(du_i/dt)v_i+u_i(dv_i/dt)}　　　(積の微分)
=Σ(du_i/dt)v_i+Σu_i(dv_i/dt)
=(du(t)/dt)・v(t)+u(t)・(dv(t)/dt)　　　(内積の定義)

という感じです。

これで、だいたい理解できたでしょうか？

#2への補足の答えとしては、上の式で言えば、
＞=Σ(du_i/dt)v_i+Σu_i(dv_i/dt)
の第一項は(du(t)/dt)・v(t)、第二項はu(t)・(dv(t)/dt)である、と(別々に)確認した訳ですので
＞=(du(t)/dt)・v(t)+u(t)・(dv(t)/dt)
のようにこの両者の足し算になる、と言った感じでしょうか。

#2では、いろいろと端折りましたが、言いたかった事のエッセンス(ぇ？そんな事は、#2では読み取れない？まぁまぁ、そう仰らずにｗ)は、

・具体的に成分計算すると、u_iv_iの和の微分をする事になる。
・u_iv_iを微分すると、u_i(uの成分)を微分したものと、v_iを微分したもの、の２つに分かれる。(積の微分から)
・u_iを微分したものを全部足せば、du(t)/dt・v(t)になる。(同様に、v_iの微分の方を足せば、u(t)・dv(t)/dtになる)
・この２つを足したが、d(u・v)/dtなのだから、(d/dt)(u(t)・v(t))=(du(t)/dt)・v(t)+u(t)・(dv(t)/dt)となるはず

という感じです。

余談になってしまいますが、
もし、上の事が理解できて、証明が頭の中だけで追えるようになれば、内積だけではなく、外積についても、同じように「積の微分」が成り立つと直ちに分かると思います。
つまり、u,vが３次元ベクトルなら、外積u×v=(u_y v_z-u_z v_y,u_z v_x-u_x v_z,u_x v_y-u_y-v_x)(の転置)が定義されていますよね。この定義の形を考えれば、内積と同じように
(d/dt)(u(t)×v(t))=(du(t)/dt)×v(t)+u(t)×(dv(t)/dt)
のようになる事が分かると思います。

u(t)×v(t)を(各成分ごとに)tで微分する事を考えると、内積の場合と同じように
u(t)の方を微分した項を全部足した奴が、(du(t)/dt)×v(t)と一致するはずで、
v(t)の方を微分した項を全部足した奴が、u(t)×(dv(t)/dt)と一致するはずです。
そして、この２つを足したものがu(t)×v(t)の微分になるわけですから。(内積の場合と違うのは、成分計算した場合の形だけで、やってる事はいっしょですよね)

さらに、d/dtだけではなく、(u,vが空間座標にも依存していれば)、∂/∂x等はもちろん、∇(つまり、grad,div,rot)についても、同じように、「積の微分」の公式が成り立つ事が分かるのではないでしょうか。

お礼

ようやく分かりました！！
丁寧な回答をありがとうございました。
もう少し、基礎をしっかり勉強しないとダメですね…。

回答No.2

eatern27

#1です。

すいません。

＞u(t),v(t)(ともにベクトル）がR^2上に値を持つ関数のとき、
から、u(t),v(t)は二次元のベクトルだと思ったので(って違うんですか？)、u_xはuのx成分、u_yはuのy成分という意味で使っていました。
("^"を上付き文字で使うように、"_"は下付き文字で使う事が多いです。まぁ、大抵の場合"_"を書かなくても通じますが)

一般のｎ次元の場合の前に、２次元の場合を考えると、

u=(u_1,u_2),v=(v_1,v_2)(の転置)とすれば、
(d/dt)(u(t)・v(t))
=(d/dt)(u_1(t) v_1(t) + u_2(t) v_2(t))

となりますが、第一項のu_1の方を微分したものと、第二項のu_2の方を微分したものを足すと、
du_1(t)/dt v_1(t) + du_2(t)/dt v_2(t)
=du(t)/dt・v(t)

同様にして、v_1,v_2の方を微分したものを考えれば、u(t)・(dv(t)/dt)という項が出てくるので、
＞(d/dt)(u(t)・v(t))=(du(t)/dt)・v(t)+u(t)・(dv(t)/dt)
が成り立つ事が分かると思います。

u(t),v(t)がｎ次元の場合、成分の数が増えるだけですので、全く同じようにやればこの式が成り立つ事が、(頭の中の計算だけで)分かると思います。

補足

ありがとうございます。
だいたい分かったのですが、もう少し教えてください。

>u=(u_1,u_2),v=(v_1,v_2)(の転置)とすれば、
(d/dt)(u(t)・v(t))
=(d/dt)(u_1(t) v_1(t) + u_2(t) v_2(t))
⇒ＯＫです。

>第一項のu_1の方を微分したものと、第二項のu_2の方を微分したものを足すと、
du_1(t)/dt v_1(t) + du_2(t)/dt v_2(t)
=du(t)/dt・v(t)
⇒これもＯＫです。

>同様にして、v_1,v_2の方を微分したものを考えれば、u(t)・(dv(t)/dt)という項が出てくる
⇒ここも大丈夫です。

>出てくるので、
＞(d/dt)(u(t)・v(t))=(du(t)/dt)・v(t)+u(t)・(dv(t)/dt)
が成り立つ事が分かると思います。
⇒ここが分かりません。

ここの数式の意味は理解できるのですが、u(t)の成分のみを微分したものと、v(t)の成分のみを微分した式を足すところのつながりがイマイチ分かりません。
積の微分の公式を使ってのつながり、って感じでしょうか？