ベクトル（外積）の微分の証明

質問

ベクトル微分があまりにもわかっていないので、誰か助けてください。

内積の微分はなんとなく理解できるんですが、外積の微分となると内積との違いがよくわかりません。成分ごとの説明で、正しく証明できているのでしょうか？
また、ｒがベクトルの場合、
ｄ/dt(r*(dr/dt))=r*(d^2r/dt^2)
は、どのように証明が出来るのでしょうか？
感覚的には理解できるのですが、イイ説明方法が出来る方、よろしくお願いします。

回答No.1

sakura_214 · ベストアンサー

例えば，２つの関数f=f(t), g=g(t)の積の微分は
(d/dt)(f*g)=(df/dt)*g+f*(dg/dt)
となりますが，この点に関しては内積だろうと外積だろうと同様の関係が成立します．２つのベクトル関数A↑=A↑(t), B↑=B↑(t)に対して
(d/dt)(A↑・B↑)=(dA↑/dt)・B↑+A↑・(dB↑/dt)
(d/dt)(A↑×B↑)=(dA↑/dt)×B↑+A↑×(dB↑/dt)
となります．またスカラー関数とベクトル関数の積の微分でも同様に
(d/dt)(f*A↑)=(df/dt)*A↑+f*(dA↑/dt)
となります．
つまり微分そのものの操作は，積の種類（通常の積(*)，内積(・)や外積(×)など）には影響しませんので，通常の微分の関係式を把握しておけば十分です．

＞ｄ/dt(r*(dr/dt))=r*(d^2r/dt^2)

この積のオペレータ*は外積(×)のことですね．
d/dt(r↑×(dr↑/dt))
=(dr↑/dt)×(dr↑/dt)+r↑×(d^2r↑/dt^2) ---(#)
=r↑×(d^2r↑/dt^2)
(#)の第１項は同じベクトル，つまり平行なベクトル同士の外積なので0となります．

回答No.2

Teleskope

>> ｄ/dt(r*(dr/dt))=r*(d^2r/dt^2)
　　は、感覚的には理解できるのですが　<<

　そんなすごい力があるなら質問必要ないでしょうｗ　質問は真摯に書きましょう。
’を微分記号とすると

　　(ａ×ｂ)’= ａ'×ｂ + ａ×ｂ'

です。今は ａ=ｒ、ｂ=ｒ’ですね。
一般に、等しいもの同士の外積は？

（　内積も外積も成分表示で書くと みな
　　　　‥‥＋ａｂ＋‥‥
　　でしょう？これを微分すれば
　　　　‥‥＋ａ’ｂ＋ａｂ’＋‥‥

　　お答え漁りの常連にならないようにね。）

お礼

はい。気をつけます。
ありがとうございました。