加法定理の証明

質問

加法定理をベクトルの内積、外積を用いて証明しなければならないのですが、途中で詰まってしまいました…

誰か教えて下さい(><)

回答No.2

sakura_214 · ベストアンサー

原点Oを中心とする単位円周上に点X,Yをとり，
OX↑=(cos(x),sin(x))
OY↑=(cos(y),sin(y))
とおきます．

外積の定義より（ここでは２次元の外積なので結果はスカラーです）
OX↑×OY↑=1*1*sin(y-x)=sin(y-x)
一方，外積の成分計算より
OX↑×OY↑=(cos(x),sin(x))×(cos(y),sin(y))=cos(x)sin(y)-sin(x)cos(y)
以上より，sinの加法定理
sin(y-x)=cos(x)sin(y)-sin(x)cos(y)
が得られます．（符号は適当に変換してください）

また，内積の定義より
OX↑・OY↑=1*1*cos(y-x)=cos(y-x)
一方，内積の成分計算より
OX↑・OY↑=(cos(x),sin(x))・(cos(y),sin(y))=cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y)
以上より，cosの加法定理
cos(y-x)=cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y)
が得られます．（符号は適当に変換してください）

ついでに，この方法で合成公式も証明できますので示しておきましょう．
OP↑=(a,b)とおきます．（点Pは任意の点）

外積の定義より
OP↑×OX↑=√(a^2+b^2)*1*sin(x-Artctan(b/a))=√(a^2+b^2)*sin(x-Artctan(b/a))
一方，外積の成分計算より
OP↑×OX↑=(a,b)×(cos(x),sin(x))=a*sin(x)-b*cos(x)
以上より，sinの合成公式
a*sin(x)-b*cos(x)=√(a^2+b^2)*sin(x-Artctan(b/a))
が得られます．

また，内積の定義より
OP↑・OX↑=√(a^2+b^2)*1*cos(x-Artctan(b/a))=√(a^2+b^2)*cos(x-Artctan(b/a))
一方，内積の成分計算より
OP↑・OX↑=(a,b)・(cos(x),sin(x))=a*cos(x)+b*sin(x)
以上より，cosの合成公式
a*cos(x)+b*sin(x)=√(a^2+b^2)*cos(x-Artctan(b/a))
が得られます．

※使用しているHNが似ていますね^^

お礼

そのやり方でいいんですね。
外積の場合２次元でもいいのかと思っていたので、なんかすっきりしました。
合成の定義もありがとうございました。

ＨＮ似てますね、というか私のほうがあとからつけたんですが。なんかふっと思いついたのがこれだったんです。

ありがとうございました。

回答No.1

elttac

内積を使用した解放を示しておきます。

　原点 O として単位円上に 2 点 A，B をとります。この座標は，
　　A(cos a, sin a)
　　B(cos b, sin b)
と表せます。ここで，ベクトル OA，OB の内積をとると，
　　vec(OA)・vec(OB)
　　＝ 1・1・cos|a － b|
　　＝ cos(a － b)
　　＝ cos a・cos b ＋ sin a・sin b
これで加法定理の 1 つが示されました。あとは，角度の正負を反転させたり，90 度を加えたりすると残りの 3 つが求められます。

お礼

内積の方はなんとなくわかっていたのですが、いろいろサイトなど見ているうちに心配になってきまして…
自信がつきました。

ありがとうございました。