加法定理について

質問

すごく簡単な問題だというのは重々承知なのですが
加法定理の解き方を忘れてしまいました。
教えて下さい。

sinθ＋√3cosθ＝2

出来れば加法定理を解くときのポイントを教えてくれると有難いです。

回答No.4

htms42 · ベストアンサー

私も図形で考える方法を書いて見ます。

直交座標ｘ、ｙを取ります。原点をＯとします。
Ｏから長さ１の線ＯＡを引きます。ｘ軸となす角度をθとします。（まだθがいくらかは分かりませんのであまり大きくない角度で適当に書いてください。）
ＯＡに垂直にＡから長さ√３の線ＡＢを引きます。ＢはＡに対して角度の大きくなる方向です。
△ＯＡＢは∠ＯＡＢ＝９０°の直角三角形です。
ＯＡ＝１，ＡＢ＝√３ですからＯＢ＝２であることが分かります。∠ＢＯＡ＝６０°です。θを変えると直角三角形ＢＯＡがＯを中心にしてぐるぐる回る事になります。
ＢＯとｘ軸のなす角度は６０°＋θ　です。Ｂからｘ軸に下ろした垂線の長さは　ｓｉｎθ＋√３ｃｏｓθ　です。
この値が２に等しいのですから６０°＋θ＝９０°、θ＝３０°です。

ｓｉｎθ＋√３ｃｏｓθ＝２ｓｉｎ(６０°＋θ)＝２としても同じです。
この式の変形が単振動の合成と呼ばれることがあるのは直角な三角定規の回転に相当しているからです。

お礼

詳しく書いて下さって本当に有難うございます。
とても分かりやすかったです。

回答No.5

owata-www

これは加法定理を使ってもできますが、普通は三角関数の合成を使うかと

a*sinθ+b*cosθ = √(a^2 +b^2) *sin(θ + α)　（αはsinα=b/√(a^2 +b^2) cosα=a/√(a^2 +b^2) をみたす）
を使うと

sinθ＋√3cosθ＝2sin(θ+π/3)となります。

お礼

なるほど！合成を使うんですね。
回答してくださって有難うございます。

回答No.3

arrysthmia

絵を描くのがポイント。

y + (√3) x = 2,　x^2 + y^2 = 1
の交点が、(x, y) = (cosθ, sinθ) になる。

お礼

回答してくださって本当にありがとうございます。

回答No.2

boobee0125

-180°≦θ＜180°の範囲でθを求めます。与式の両辺を２で割って

sinθ・1/2＋√(3)/2・cosθ＝1
⇔
sinθ・cos(60°)＋sin(60°)・cosθ＝1
⇔
sin(θ+60°)＝1　（加法定理）
⇔
θ+60°= 90°
∴θ = 30°

なおこの問題は本来は加法定理ではなく三角関数の合成公式を使うべきではないかと思います。

お礼

回答してくださってありがとうございます。
合成でも解いてみます！

回答No.1

Gab_km

どんなときもGoogle大先生がお力になってくれるとは思いますが、最後の
＞出来れば加法定理を解くときのポイントを教えてくれると有難いです。
になりそうなところだけ、アドバイスさせていただきます。

定数項をきれいにすると、見通しがよくなるのではないでしょうか。
「きれい」という表現があまりに曖昧で申し訳ありません。
そこはいろんな経験から、どんな数字にしてみようかな、と発想を働かせていただければ。

今回は、定数項を１にしてみたら解決すると思います。
(解の範囲は気にしておいてください)

参考URL：

http://www.crossroad.jp/mathnavi/kousiki/sankakukansuu/kahouteiri.html

お礼

参考URLとても参考になりました。
回答してくださって有難うございます。