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加法定理の応用
テスト勉強中に分からない問題がでてきて困っています； 加法定理の応用(2倍角、半角)の問題で 「π/2＜θ＜π , sinθ＝2/3のとき sin2θ , cos2θ , tanθ/2の値を求めよ」 というものなのですが。 sin2θとcos2θの方はそれぞれ解けたのですが、 tanθ/2がどうにも答えが合いません。 まず cosθ ＝-√1-sin^2θ ＝-√1-(2/3)^2 ＝-√5/3 と、cosθをだしました。 次にtanθ/2を二乗して tan^2θ/2 ＝1-cosθ/1+cosθ ＝1-(-√5/3)/1+(-√5/3) ＝1+√5/3/1-√5/3 ＝3+√5/3-√5 ＝(3+√5)^2/(3-√5)(3+√5) ＝9+6√5+5/9-5 ＝14+6√5/4 二乗をとって tanθ/2 ＝√(14+6√5)/√4 ＝√(14+2√45)/√4 ＝√(√9+√5)^2/√4 ＝√9+√5/√4 ＝3+√5/2 となったのですが、 解答では tanθ/2 ＝√(1-cosθ)/√(1+cosθ) ＝√(5+4)/√(5-4) ＝3 と書かれていました。 何度計算しても3になりません； どなたか教えていただけると助かります。 宜しくお願いします。
- caandcat
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質問者が選んだベストアンサー
＞何度計算しても3になりません； 確かにならない。解答が違ってる。 別の方法で確かめてみよう。 tan（/2）＝tとすると、sinθ＝（2t）/（t＾2+1）＝2/3であるから、これを整理すると t＾2-3t＋1＝0. π/2＜θ＜πよりπ/4＜θ/2＜π/2より t＞0であるから t＝（3+√5）/2。
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- info22
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質問者の方の ＞tanθ/2 ＞… ＞＝3+√5/2 の解答が正解です。 解答の3は間違いです。 ＞解答では ＞tanθ/2 ＞＝√(1-cosθ)/√(1+cosθ) ＞＝√(5+4)/√(5-4) ↑ここが間違いです。 cosθ＝-(√5)/3が代入されていません。 は間違いです。
お礼
お礼が遅くなってしまい、すみません； 私も解答をみて何故5+4がでてくるのか とても不思議に思っていました。 やはり解答のミスだったのですね； アドバイスしてくださりありがとうございました。
- tw1178
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確かに３になりませんね・・・ (3＋√5)/2が正解でしょう。 解答の式もあいまいです。 途中式を書く問題でこの解答では減点されるかもしれませんね。 先生に問い合わせてみるといいでしょう。
お礼
お礼が遅くなってしまい、すみませんでした； 読ませていただいたのですが テスト中のため中々お礼を書くことができませんでした。 解答が間違っていたのですね； 皆さんがアドバイスしてくださったおかげで あいまいだったものがスッキリしました。 ありがとうございました！
- take_5
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訂正。。。。。。。笑 ＞π/2＜θ＜πよりπ/4＜θ/2＜π/2より t＞0であるから t＝（3+√5）/2。 ↓ π/2＜θ＜πよりπ/4＜θ/2＜π/2より t＞1であるから t＝（3＋√5）/2。
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お礼
お礼が遅くなってしまい、すみません； 今日やっとテストが終了しました。 やはり解答が間違っていたのですね。 何度やっても合わないわけです・・・； 別の方法も書いてくださり、ありがとうございました。