加法定理の問題

質問

α、βは鈍角、tanα=-3/4, cosβ=-2√5/5のとき、cos(α+β)の値を求めよ。

解答　α、βは鈍角であることよりπ/2<α<π、π/2<β<π　なのでsinα>0、sinβ>0、cosα<0、cosβ<0
sinβ＝√5/5

ここまではできました。この後の解答をお願いします。

回答No.1

himajin100000 · ベストアンサー

α、βは鈍角、tanα=-3/4, cosβ=-2√5/5のとき、cos(α+β)の値を求めよ。

解答　α、βは鈍角であることよりπ/2<α<π、π/2<β<π　なのでsinα>0、sinβ>0、cosα<0、cosβ<0

(cosβ)^2 + (sinβ)^2 = 1
(-2√5/5)^2 + (sinβ)^2 = 1
20/25 + (sinβ)^2 = 1
(sinβ)^2 = 5/25
sinβ>0よりsinβ = √5/5

さて
tanα=-3/4
だから
sinα/cosα = -3/4
移項して
(-3/4)・cosα = sinα
(sinα)^2 + (cosα)^2 = 1
((-3/4)・cosα)^2 + (cosα)^2 = 1
(25/16)・(cosα)^2 = 1
(cosα)^2 = 16/25

cosα < 0だから
cosα = -4/5
sinα = 3/5

cos(α+β)
=cosαcosβ - sinαsinβ
=(-4/5)・(-2√5/5) - (3/5)・(√5/5)
= 8√5/25 - 3√5/25
=5√5/25

お礼

ありがとうございました。
本当に本当に助かりました！！
途中式もあったので、とても分かりやすかったです。