運動方程式の微分積分の計算

質問

運動方程式の微分積分の計算方法がわかりません。詳しく教えてもらえると嬉しいです。よろしく、お願いします。以下はテキストの抜粋です。

m・dv/dt = F(r)
両辺に速度　v=dr/dt　をかけると
mv・dv/dt = F(r)・dr/dt
となる。ここで、
v・dv/dt = d/dt(1/2v^2) 　←　この式変形が、分かりません。1/2も不明です。
と変形できるので、上の式は
d/dt [1/2 mv^2(t)] = F・dr(t)/dt

回答No.3

okormazd · ベストアンサー

積の微分の公式
(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
をつかっているだけです。

v^2=v・v
v'=dv/dt

です。

d/dt(v^2)=(v^2)'=(v・v)'=v'v+vv'=2vv'=2v・dv/dt

だから、

v・dv/dt=1/2・d/dt(v^2)=d/dt(1/2v^2)

でしよう。

お礼

詳しい解説、ありがとう、ございます。　勉強する気力が沸いてきました。

回答No.2

rnakamra

右辺→左辺の変形は積の微分なり合成関数の微分の公式を使えば簡単に導けます。

慣れれば左辺を見ただけで右辺に変形出来るようになるのですが(この手の変形は良く出てくるのでそのうちなれる)、どうしても左辺から右辺を導きたい場合は左辺の式を一度時間で積分してみると良い。

∫(v*dv/dt)dt=∫vdv　　(置換積分)
=v^2/2+C

この両辺を時間で微分すると
v*dv/dt=d/dt(v^2/2)
となります。

お礼

ご教授、ありがとう、ございます。　これを励みに、これからも精進していこうと思います。

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

d/dt(1/2v^2) は微分の積の公式

d(ab)/dt = da/dt * b + a * db/dt

から

1/2 * (dv/dt * v + v * dv/dt) = v * dv/dt

お礼

すばやい対応、ありがとう、ございます。　また１つ理解を深めることが、できました。