保存力に関する質問です。

質問

以下の文章でわからない点が多数ありました。
以下にわからなかった点を示します。


(1) V との内積をとると
mV・(d/dt)V = F・V.
(d/dt)(mV^2/2) = F・V.

>まずどうして内積をとるとこう変形できるのでしょうか？


(2)積分して，初期値を添え字 o で，また空間的位置を R で表すと

>空間的位置とはなんですか？位置ベクトルでしょうか？
(2) 

mV^2/2 - mVo^2/2 = ∫F・V dt = ∫F・dR...(2)

>どうして左辺は定積分なのに右辺は不定積分なのですか？
(4)
∫F・V dt = ∫F・dRと変形できるのはどうしてなのでしょうか？


(5)2)の不定積分は -φ(R) と書くことができます．
　　
>どうしてこう書けるのかわかりません。

(6)φ(R)は位置 R だけに依存して，エネルギーの次元を持ちますから，位置エネルギーと呼ぶことができます

　　>エネルギーの次元をもつとはどういうことですか？

(7)
φを使うと(2)は
mV^2/2 - mVo^2/2 = -φ(R) + φ(Ro).
　　
>どうして不定積分なのに右辺はこう書けるのですか？

大変質問が多いですが、教えてくださると助かります。どうかよろしくお願いします。

↓もとの文章(保存力と力学的エネルギーの保存について)
『ベクトルを大文字で，スカラーを小文字で表すとします．質点の質量を m，速度を V，働く力を F，時間を t とすると，運動方程式は
m(d/dt)V = F...(1)
V との内積をとると
mV・(d/dt)V = F・V.
(d/dt)(mV^2/2) = F・V.
積分して，初期値を添え字 o で，また空間的位置を R で表すと
mV^2/2 - mVo^2/2 = ∫F・V dt = ∫F・dR...(2)
(2)の積分がその経路によらず，始点と終点だけで決まるような力 F を保存力といいますから，(2)の不定積分は -φ(R) と書くことができます．φ(R)は位置 R だけに依存して，エネルギーの次元を持ちますから，位置エネルギーと呼ぶことができます．φを使うと(2)は
mV^2/2 - mVo^2/2 = -φ(R) + φ(Ro).
よって，
mV^2/2 + φ(R) = mVo^2/2 + φ(Ro)...(3)
(3)は力学的エネルギーが保存されることを示しています．』

回答No.1

hitokotonusi · ベストアンサー

面倒なのでスカラーとベクトルと適当に使い分けていますが、
意味から判断してください。

(1)x成分のみ考えれば

Vx (dVx/dt) = (1/2)d/dt(Vx^2)

y,z成分について同様の計算をして加えれば左辺は内積になるので

V・dV/dt = Vx (dVx/dt) + Vy (dVy/dt) + Vz (dVz/dt) = (1/2)d/dt(Vx^2+Vy^2+Vz^2) = (1/2) d(V^2)/dt

(2)位置ベクトルですね

(3)(7)積分の上限下限と経路を省略しているだけで定積分です。

(4)速度ベクトルは位置ベクトルの時間微分なのでV=dR/dt。従って、

∫F(t)・Vdt ＝∫F(t)・(dR/dt)dt

一般にFは時間の関数ですが、保存力であるためには座標のみの関数でなければならないので、

F(t) = F(R(t))

となるので、この積分は変数変換で時間の積分から座標の積分にすることができ、

∫F(t)・Vdt ＝∫F(R(t))・(dR/dt)dt = ∫F(R)・dR

(5)積分は経路によらないという保存力であることからの要請です。
マイナス符号は定義。

(6)運動エネルギーが(1/2)mv^2なので、(質量)(長さ)^2(時間)^(-2)がエネルギーの次元です。よくある書き方では質量はM、長さはL、時間にTという記号を使って[M L^2 T^(-2)]がエネルギーの次元です。

∫F・dRは(力)×(移動距離)の次元で運動方程式ma=Fを考えれば力の次元が[M L T^(-2)]でそれに移動距離の次元[L]をかけるので[M L^2 T^(-2)]というエネルギーの次元になります。

お礼

理解できました。どうもありがとうございました。

補足

回答ありがとうございます。
さて、下記の部分が理解できなかったので補足させていただきます。
(1)x成分のみ考えれば

Vx (dVx/dt) = (1/2)d/dt(Vx^2)
>ここの部分の計算がわからないので教えてもらえませんか。

一般にFは時間の関数ですが、保存力であるためには座標のみの関数でなければならないので
>Fは時間の関数なのですか？保存力であるためには座標のみの関数でなければならないのはどうしてですか？

回答No.3

hitokotonusi

>ここの部分の計算がわからないので教えてもらえませんか。

右辺から左辺を計算すればわかると思いますが、

関数fがxの関数で、xが時間に依存している場合、つまりf( x(t) )のとき

df/dt = (df/dx)(dx/dt)

今の場合f(x) = x^2なのでdf/dx = 2xで

df/dt = d(x^2)/dt = 2x (dx/dt)

＞保存力であるためには座標のみの関数でなければならないのはどうしてですか？

保存力とは、二つの地点の座標が決まれば、その二地点間を移動する際になされる仕事が経路等によらず二地点の座標のみで決まるような力です。

もし仕事が座標のみでは決まらず時間にも依存するとしたら、同じ経路を通ったとしても時間によって仕事の量が変ってしまうので、保存力にはなりえません。

たとえば摩擦のある斜面にそって物体を上向きに滑らすと、登りでは下向きに動摩擦が働き、降りでは上向きに動摩擦が働くので、同じ場所でも登っていく時刻と降って行く時刻で力がプラスとマイナスで異なります。こういう力は保存力になりません。一方、物体に働く重力は物体の運動状態によらずどの時刻でも等しいので、これは保存力になります。

回答No.2

hitokotonusi

(1)を書き落としていたので補足です。

#1で

V・dV/dt = (1/2) d(V^2)/dt　　(*)

を導きましたが、運動方程式から

dp/dt = m dV/dt = F

となりますので、これを使えば(*)の両辺にmをかけて

m V・dV/dt = F・V = (1/2) m d(V^2)/dt = d[(1/2) m V^2]/dt

が成り立ちます。