• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

外積 商 次元

前回、内積にはなぜ商が定義されないのか 質問させて頂きました。 URL:http://okwave.jp/qa/q7403145.html 外積の商が定義されないことを示そうとしています。 ベクトルa=(1,0,0)とベクトルxの外積を以下に示すと、 a×x=bから、 (1,0,0)×(0,1,0)=(0,0,1) (1,0,0)×(1,1,0)=(0,0,1) (1,0,0)×(2,1,0)=(0,0,1) とベクトルbとなるベクトルxが複数存在します。 よって、 (1,0,0)×(γ,1,0)=(0,0,1)が成り立つ。 γ成分は、a=(1,0,0)における並行成分が任意であるということ。 したがって、ベクトルaとベクトルbが既知でもベクトルxが一意に 定まらないため商が定義されない。 上記の内容でOKでしょうか? また、内積と外積が定義される次元についてですが、 スカラーの内積とスカラーの外積は存在しないと思うので最低でも 2次元以上のn次元で定義されると認識でOKでしょうか? 以上、ご回答よろしくお願い致します。

  • RY0U
  • お礼率40% (434/1065)

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数3
  • 閲覧数305
  • ありがとう数1

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.3
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

「向きと大きさを持つ」によってベクトルを定義するためには、 「向き」がベクトルより先に定義できていなければなりませんが、 その参考書や物理の教科書は、そうなっているのでしょうか? ちょっと想像がつかない世界です。 まず線型空間を定義して、「ベクトル」とは線型空間の元を指すとし、 その上で「ベクトルは向きと大きさを持つ」と言えば 「ベクトルの向き」を定義する言葉と理解するのが、普通かと思います。 同様に、「スカラー」とは、線型空間の基礎体の元を指すとします。 この定義によれば、例えば、ベクトルの各成分の和は、 基底が異なれば異なる値をとりますが、 基礎体の元を値に持ちますから、スカラーではあります。 一次元ベクトルについては、一般に「体」は、その体自身を基礎体として 一次元線型空間になりますが、その体上の線型空間が集合として 体と同一であるとは限りません。その意味で、 一次元ベクトルとスカラーを「同じ」ではなく「同型」と言ったのですが…

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

いつもご回答ありがとうございます。 理解できました。

関連するQ&A

  • n次元ベクトルの外積の定義

    n次元ベクトルの外積の定義はどういうものなのでしょうか? そもそもできるのでしょうか?外積は3次元特有のものでしょうか? 例えば、n次元ベクトルの内積は、例えば (a1,a2,.....,an)・(b1,b2,.......,bn) =a1*b1+a2*b2+......+an*bn と定義できると思っています。 こういう感じでn次元ベクトルの外積は定義できますか? ご教授ください。

  • ベクトル 演算 商

    ベクトルの演算について質問させていただきます。 ベクトルには和と差、および積(内積と外積、スカラー倍)等の演算があると 思いますが、ベクトルに商(割り算)とういう演算はないのでしょうか? なぜベクトルの商がないのか気になったので質問させて頂きます。 なぜないのか教えて頂ければ幸いです。 ベクトルの内積における割り算を考えてみます。 a・x=bにおいて aベクトルへのxベクトルの正射影とその積は、 |a||x|cosθ=bとなります。 図で描けばわかるのですが、aとbが決まってもベクトルxが一意に決まらない ため、つまりベクトルaへの正射影であるベクトルxはいくらでも存在する。 からベクトルの商というのは考えないのでしょうか? 外積にもどうようのような理由があるからでしょうか? 以上、説明が下手くそですが気になりましたのでご回答よろしくお願い 致します。

  • 内積と外積について

    内積と外積について 2つのベクトルをA,Bと表し、2つのベクトルのなす角をθとします。 また、A=(ax,ay,az),B=(bx,by,bz)です。 内積はA・B=|A||B|cosθと表されこれはスカラー量です。 内積はAのBへの正射影とBの積(もしくは、BのAへの正射影とAの積)と認識しています。 また、A・B=axbx+ayby+azbzとも表されこれはスカラー量です。 A・B=|A||B|cosθ,A・B=axbx+ayby+azbzはどちらも内積の定義なのでしょうか? 外積は|A×B|=|A||B|sinθと表されますが、これもスカラー量ですよね。 外積はベクトル積と呼ばれることもあるようですが、 これは、外積の定義A×B=(aybz-azby,azbx-axbz,axby-ayax)がベクトルとなるからベクトル積と 言われるのでしょうか? |A×B|=|A||B|sinθは定義ではないのですか? 以上、よろしくお願い致します。

その他の回答 (2)

  • 回答No.2
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

座標変換で値が変わる/変わらないによる区別は 物理学に独特のもので、数学でいうスカラーや ベクトルの定義とは、関係がありません。 別の概念を、同じ言葉で呼んでいるんですよ。 ベクトルの定義は、線型代数の入門書の 最初のほうの章に出ていますから、 図書館か書店で確認してみてください。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からの補足

ご回答ありがとうございます。 >座標変換で値が変わる/変わらないによる区別は >物理学に独特のもので、数学でいうスカラーや >ベクトルの定義とは、関係がありません。 知りませんでした。ありがとうございます。 手元にある参考書で定義を確認しました。 ベクトルとは、ベクトル空間の元であるということですね。 しかし高校の数学の参考書には、「向きと大きさの2つをもつ量」 と書いてあります。 この「向きと大きさの2つをもつ量」というのが物理学で使われている 定義なのでしょうか? 混乱しますね・・・ >1 次元ベクトルとスカラーが同型であること に注意しましょう。 ベクトル空間の元であるベクトルの数が次元を決めると認識 しています。 例えば、 2つの実数の組(x,y)の集合はスカラーを実数として, 2次元のベクトル空間となる。これは2次元ベクトルですよね? 1次元ベクトルは(x)です。 つまり1次元ベクトルはスカラーということですね。 物理学では、1次元ベクトルはスカラーでは ないと言うことでしょうか? 外積についてですが、3次元でのみ定義されるということで 理解しました。 外積とベクトル積は厳密には意味がことなるものなのですね。 ベクトル積は3次元でのみ定義されるようです。 http://okwave.jp/qa/q193082_2.html#answer 私には難しくて、全ては理解できませんでした・・・ また、興味本位ですが、外積(外積代数)は 1次元などn次元で定義されるのでしょうか? 以上、申し訳ありませんがご回答よろしくお願い致しますm(_ _)m

  • 回答No.1
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

除法が不可能なことについては、その理解でよいと思います。 成分計算をしなくても、任意のベクトル →a について (→a)×(→a)=(→0) ですから、与えられた →a, →b に対して (→a)×(→v)=(→b) となる →v がひとつ存在したとすれば、 任意のスカラー s について (→a)×{(→v)+s(→a)}=(→0) となってしまい、商はひとつに定まらない…と言えます。 内積と外積が定義される次元について: 内積は、1 次元でも定義できて、単なるスカラーの積になります。 1 次元ベクトルとスカラーが同型であること に注意しましょう。 外積は、3 次元でのみ定義され、それより低次にも高次にも ありません。普通の外積の他に、もっと一般的な「外積」という 概念もあり、一般のベクトル空間上で定義されるのですが、 それは、3 次元のいわゆる外積とは、また別のものです。 単語が同じなので、ややこしいですが。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からの補足

いつもご回答ありがとうございます。 内積はn次元で定義可能ということですね。 >1 次元ベクトルとスカラーが同型であること に注意しましょう。 一次元ベクトルとスカラーが同型とはどういうことでしょうか? ベクトルとスカラーは根本的に違うもので、 ベクトルは「座標変換によって値が変わる」 スカラーは「座標変換しても値が変わらない」 よって、ベクトルとスカラーは根本的に性質のことなるものと 認識しています。 一次元だとベクトルはスカラーと同じになるということでしょうか? 一次元ベクトルの内積とは具体的にどのように計算されるのでしょうか? 例えば一次元ベクトル(1)と(2)の内積は、 (1)・(2)=2 というような感じでしょうか? 外積についてですが、3次元で定義されるものなのですね。 知恵袋にも同様の質問がありました。 http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q141637634 こちらで回答されているものは、alice_44さんが仰っている一般的な 外積に相当するものでしょうか? ネットで調べた限りでは、 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%96%E7%A9%8D%E4%BB%A3%E6%95%B0 の事でしょうか? 以上、ご回答よろしくお願い致します。

関連するQ&A

  • 2次元における外積について

    プログラミング方面で2次元の外積なるものが定義されていました。 u=(a,b), v=(c,d)としたとき、 u×v=ad-bc というものです。3次元とは異なり、ベクトルからスカラーへの演算になっています。 外積は3次元でしか定義されないと教えられたので、 これは外積なのか、外積もどきなのか判断に困っています。 数学的にはこれを外積と呼ぶのでしょうか?

  • ベクトルで外積の逆演算、外商ってある?

    3次元ベクトルにおいて、 a=(a[x],a[y],a[z]),b=(b[x],b[y],b[z]) の外積 a×b=(a[y]b[z]-a[z]b[y], a[z]b[x]-a[x]b[z], a[x]b[y]-a[y]b[z]) が定義できます。いくつかの性質もあります。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%82%B9%E7%A9%8D ところで、逆演算も定義としてはありえると思います。 a÷b=xとは、 x×b=aとなる3次元ベクトルx ただ、そのようなxは一意的には存在しません。 しかし、外積を内積に変えて、 x・b=a(aは実数)となる3次元ベクトルx を考えると、そのようなxの集合は、3次元空間で平面になります。 ちょっととっぴにいうと、内積の逆演算、内商a:bは、平面になるということもできます。 では、 x×b=aとなる3次元ベクトルx を考えると、そのようなxの集合はどうなるのでしょうか? また、平方根を制限したものを√で表したりするように、逆演算はしばしば制限したものを考えます。 なにか制限することで、外積の逆演算、外商を考えれないでしょうか?なにか制限することで、内積の逆演算、内商を考えれないでしょうか? 他に発展的なことは考えれないでしょうか?

  • 内積と外積の物理的意味を教えてください

    内積と外積の物理的意味がわからないです。 内積は結果がスカラーになり、外積は方向と大きさをもつベクトルになるということはわかるのですが、「物理的意味」ということがよくわかりません。

  • ベクトルの外積 

    ベクトルの外積の2次元の計算で r×(r2-r1) の計算を考えているのですが 外積の定義を見ていると2次元では考えられないような気がするのですが この計算はできるのでしょうか?? 誰か詳しい方がいらっしゃればアドバイスお願いします。

  • 外積の定義

    私は外積は3次元ベクトルに対してのみ 定義されるものだと思っていました。 が、最近ネット上では他の次元に対する外積 という言葉もちらほら見かけます。 つきましては、3次元以外の外積が一般的かどうか。もし、一般的ならばその定義はどうなっているか 教えて下さい。

  • 外積はなぜ2階のテンソルなのですか?

    昨日も質問させていただきましたが,もう一度質問させてください. 以下,クロネッカーのデルタとエディントンのイプシロン及びニュートンの総和規約を使っています. 内積はu・v=(δij)(ui)(vj)と表され,u,vの2つと縮約をとってやっとスカラー(0階テンソル)になるので内積を表すテンソルは2階テンソルだと思います. 外積はu×v=(εijk)(uj)(vk)と表され,u,vの2つと縮約をとってもまだベクトル(1階テンソル)です.外積操作が2階のテンソルならこの時点でスカラーになるはずですが,実際はベクトルになります.これは1階高い3階のテンソルだからなのではないのですか? そして,ここでwとの内積をとるスカラー三重積(u×v)・w=(εijk)(uj)(vk)(wi)はスカラーであり,スカラー三重積を表すテンソルは3階のテンソルで間違いないですか? 以上ですが,できれば上の文章のどこが間違っているのかを指摘してくださればありがたいです.

  • ベクトル空間 次元 について

    前回質問(数ベクトル空間 ベクトル空間)させて頂いた内容です。 http://okwave.jp/qa/q8631000.html#answer 前回の質問内容を整理してわからなかった点を再度質問させて頂きます。 ベクトル空間の次元についてですが、以下のように理解しました。 Vはベクトル空間であるとします。 x,y,z∈Vについて、 (1)x,y,zのうち2つのベクトルが0なら1次元ベクトル空間 (2)x,y,zのうち1つのベクトルが0なら2次元ベクトル空間 (3)x,y,zがどれも0ベクトルでなければ3次元ベクトル空間 と理解しました。 R^2は2次元ベクトル空間 R^3は3次元ベクトル空間 R^nはn次元ベクトル空間 という説明がウェブ上で多々ありますが、 これは、ベクトル空間の「成分の数(項数)」であって次元とは関係 ないと理解しました。 ここまでで間違いありますでしょうか? 間違いがあればご指摘よろしくお願い致します。 *****以下、質問内容***** x,y,z∈Vについて、 (1)x,y,zのうち2つのベクトルが0なら1次元ベクトル空間 (2)x,y,zのうち1つのベクトルが0なら2次元ベクトル空間 (3)x,y,zがどれも0ベクトルでなければ3次元ベクトル空間 ですが、 (1)、(2)、(3)はいずれもR^3の部分空間とのことなのですが、この点がよくわかりません・・・ 私のイメージなのですが、 (1)⊂(2)⊂(3)のイメージがあるのですが、これは大きな間違いでしょうか? 3次元ベクトル空間の部分空間は2次元ベクトル空間と1次元ベクトル空間 と言ったイメージなのですが・・・ R^3の部分空間であるとは、「成分が3つのベクトル空間」の部分空間と言う事で、 次元とは無関係ですよね? 以上、ご回答よろしくお願い致します。

  • テンソル積の定義と具体的な演算

    ベクトルには内積、外積、テンソル積(ディアド)があります。 (1,2), (-3,0)の内積、外積(3次元になるけど)はそれぞれ定義に沿って簡単に計算できます。テンソル積ではどうなるでしょうか。 テンソル積についてだけ、本を読んでも定義が述べられていないように感じます。テンソル積の性質とか成分の表現などは記述されていますが。テンソル積は2階までだったらマトリックスとして書けるけれども、高階だったら紙に正確に書けない(3階だったらキューブ、4階だったらもう無理)というようなことでしょうか。 ところで、この"定義"ですが、内積では、 A.B=AiBj(ei.ej)=AiBjδi,j=AiBi というのは定義とは言えないと思います。基底ベクトルの計算に内積が含まれているからですね。またこれが成立するのは直交座標系だけということになります。そういう意味でのテンソル積の"定義"を知りたいと思います。以前、テンソル積は難しいという意見がありました。しかし、難しい定義というのは存在せず、ややこしいとか、用語が難解で覚えにくいというのはあると思いますが。 また、○○積という言葉ですが、英語だとスカラー積、ベクトル積、テンソル積(これだけは日本語と英語が同じ?)ということで、その積の結果出力されるものの種類となっているということでよいでしょうか? また、表記について、内積(ドット)、外積(×)ですが、テンソル積は○←×としたり、2つのベクトルをただ単につなげて表記する(記号なし)場合もあります。古い本ほど○←×になっているような気がしますが、最近は記号なしが主流なのでしょうか。

  • ベクトルの外積

    ベクトルの内積の定義は,二つのベクトルの大きさとそのなす角の余弦の積として定義されます.この定義は,例えば,仕事を定義する場合,あるいは,ガウスの定理のような曲面とその法線に対するベクトルの積の例などを使って,容易にその定義の妥当性が検証できます. 一方,ベクトルの外積の場合は,二つのベクトルの大きさとそのなす角の正弦の積として,しかも,その方向は二つのベクトルに対して直角と定義されます.この定義は,電磁気学には,フレーミングの法則などがありますが,力学でこの法則の妥当性を検証するような事実は,何があるのでしょうか.

  • 二つ質問があります

    二つ質問があります 1、2×3の×は外積か? 2、スカラー同士が内積、ベクトル同士が外積という認識はあってますか? 外積、内積がよくわからないので教えていただけるとありがたいです