ベクトルで外積の逆演算、外商ってある？

質問

３次元ベクトルにおいて、
a=(a[x],a[y],a[z]),b=(b[x],b[y],b[z])
の外積
a×b=(a[y]b[z]-a[z]b[y],　a[z]b[x]-a[x]b[z],　a[x]b[y]-a[y]b[z])
が定義できます。いくつかの性質もあります。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%82%B9%E7%A9%8D

ところで、逆演算も定義としてはありえると思います。
a÷b=xとは、
x×b=aとなる３次元ベクトルx

ただ、そのようなxは一意的には存在しません。
しかし、外積を内積に変えて、
x・b=a（aは実数）となる３次元ベクトルx
を考えると、そのようなxの集合は、３次元空間で平面になります。
ちょっととっぴにいうと、内積の逆演算、内商a：bは、平面になるということもできます。

では、
x×b=aとなる３次元ベクトルx
を考えると、そのようなxの集合はどうなるのでしょうか？

また、平方根を制限したものを√で表したりするように、逆演算はしばしば制限したものを考えます。
なにか制限することで、外積の逆演算、外商を考えれないでしょうか?なにか制限することで、内積の逆演算、内商を考えれないでしょうか?

他に発展的なことは考えれないでしょうか?

回答No.5

noname#221368 · ベストアンサー

#1～#4は、幾何学的に見た外商という事になるでしょうか？。代数的側面に注目した場合、物理の回転運動で使用するために、似た考えがあるようです。
　版が古いですが、ゴールド・スタインの古典力学（初版）のpp.171～177で、ダイアディックという名で紹介されています。例としては、Lを角運動量ベクトル，ωを角速度ベクトル，Ｉを慣性テンソル（行列）として、
　　L＝Ｉω

ですが、Ｉを、
　　Ｉ＝L／ω

で定義する方法が紹介されてます。3次元の外積は、回転成分を表す3×3の反対称行列の省略記法をみなせますから、ここら辺りは参考になる気がします。じつは外積を行列とみなせるという事も、この本で知りました。ゴールド・スタインの古典力学は、吉岡書店から、第５版くらいが現在出てる気がします。

回答No.2

ojisan7

>x×b=aとなる３次元ベクトルxの集合はどうなるのでしょうか？
x,a,bを位置ベクトルだとすると、xの集合はbを含みaに垂直な平面上で、ｂとの距離が|a|/|b|である直線です。
しかし、数学的には、この場合、（内積の場合も同様ですが）逆演算を考えてもあまり意味がありませんね。

回答No.1

endlessriver

x×b=aの両辺にbとxの内積を取ればaはbおよひxと直交します（図でも解ります）。
そこで、簡単のためベクトルa,bを直交座標のz,y軸にとり、
その成分を改めて(0,0,a),(0,b,0)とします。ベクトルxはx-y平面に
あることは明白ですから改めて(x,y,0)とします。
これらを計算するとxb=aを得ます。yは任意。従って直線になる。