2次元における外積について

質問

プログラミング方面で2次元の外積なるものが定義されていました。
u=(a,b), v=(c,d)としたとき、
u×v=ad-bc
というものです。3次元とは異なり、ベクトルからスカラーへの演算になっています。

外積は3次元でしか定義されないと教えられたので、
これは外積なのか、外積もどきなのか判断に困っています。

数学的にはこれを外積と呼ぶのでしょうか？

回答No.1

ask-it-aurora · ベストアンサー

外積代数(参考URL)と呼ばれる分野があって，u∧v = ad - bcはその意味では確かに外積となっています．

外積代数とは線形空間Vに外積とよばれる演算を付け加えたもので，u, v, w ∈ V, a, b ∈ C (たとえば複素数体)次を満たすものとして定義されています：
[結合性] (u∧v)∧w = u∧(v∧w),
[交代性] u∧v = -v∧u (⇔ u∧u = 0),
[双線形性] (av)∧(u) = a(v∧u) = v∧(au), (u + v)∧w = u∧w + v∧w, u∧(v + w) = u∧w + u∧w.

これがどう関係するかというと，線形代数の最初にやるように適当な基底x, yを選んで数ベクトル(a, b)とax + byを同一視します．するとこれらのベクトルにはふつうのスカラー倍と足し算の他に外積もあるので
(ax + by)∧(cx + dy) = (ax)∧(cx) + (ax)∧(dy) + (by)∧(cx) + (by)∧(dy) [双線形性]
= (ac)(x∧x) + (ad)(x∧y) + (bc)(y∧x) + (bd)(y∧y) [双線形性]
= (ad)(x∧y) - (bc)(x∧y) [交代性]
= (ad - bc)(x∧y)
となり，これを同じようにad - bcと同一視すればu∧v = ad - bcとなるわけです．

同じ事を3次元のベクトル空間でやりa(y∧z) + b(z∧x) + c(x∧y)と(a, b, c)を同一視すればふつうの外積が復元できたはずです(僕なんかは外積の定義が必要になると，上の3つの性質から計算してあのめんどくさい式を出すことがたまーにあります)．人生で一回くらいはやってみるといいと思います．なのでこの外積はお馴染みの外積でもあります．

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/外積代数

お礼

外積代数、面白そうですね。今度じっくり勉強しようと思います。
解答ありがとうございます！