内積と成す角

質問

理系の大学3年生です。
線形代数,微積分,数理統計のみ受講したことがあります。

ベクトル空間についてもよくわかっていないのですが、
n次元ベクトルu,vに対して内積(u,v)を定義することが出来ますよね。
また内積を用いてベクトルの大きさ|u|=√(u,u)を定義できますよね。
(実は一般的な内積の定義の仕方もよく知りません。
(u,v)=u1*v1+u2*v2+...+un*vnでいいのでしょうか？)

さて、ここで高校で習った内積の定義を思い出すと
　　(u,v) = |u|*|v|*cosθ
と習いました。
変形して
　　cosθ = (u,v)/{|u|*|v|}　　---(*)
となり、二つのベクトルの成す角が求まる、と習いました。

2次元ベクトル,3次元ベクトルならば問題ないのですが。
式(*)の右辺はn次元ベクトルの場合でも機械的に計算して値を求めることが出来てしまいますよね。

ではその場合、2つのn次元ベクトルが成す角って何なのでしょうか？
n次元ベクトルでも2つあれば、両方を含む平面を考えることが出来るということでしょうか？

感覚的でよいので、この場合の成す角θについて何らかの解説をお願いできたらと思います。

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

ちょっと視点を変えます．
イメージ的にはNo.1，No.2さんのおっしゃるとおりです．

高校のベクトル（そして，その素直な延長である
大学教養の線形代数）では
まず「角度」があって，一方，内積もあって，
それが，(u,v) = |u|*|v|*cosθ によって結びついているわけです
＃ちなみに内積ってのは「正射影」の素直な拡張で，だから cos です
＃外積は内積と相補的で sin がでてきますね

そこで発想を変えるのです．なんだかよく分からないけれども
内積とか長さは定義されているベクトル空間を考えます．
このときに，
(u,v) = |u|*|v|*cosθ
によって「ベクトルの角度」を定めてしまうのです．
こうすると，通常の意味での「角度」の自然な拡張とみなせます．

こういう考え方は数学ではよく使います．
例えば，2^{1.5} とか，1.5次元とか，(2.3)!とか
たしか，1.5回微分するなんてのも定義できたはずです．

お礼

ありがとうございました。
やはりイメージはしにくいですが、知識としては理解できたと思います。

回答No.4

hiccup

リアル２次元や３次元では、その内積で、なす角が気持ちよく表されています。
次元が上がっても、シュワルツの不等式により「なす角」が得られますが、それをベクトルのなす角だと思うことは、イメージする助けになります。

複素数体上のベクトル空間の内積は、標準的には
　(u,v)=u1*[v1]+u2*[v2]+...+un*[vn]　　（ただし、vk の複素共役を [vk] で表した）
です。
これで (u,v) が実数になり、シュワルツの不等式が成り立ちます。

一般的なベクトル空間を考えるとき、リアル３次元のイメージではありませんか？

お礼

ありがとうございました。
やはりイメージはしにくいですが、知識としては理解できたと思います。

回答No.2

noname#101087

確かに一般論としては、n次元ベクトルでの「角度」はイメージしにくいですね。
「n次元ベクトルでも2つあれば、両方を含む平面を考える」というのも一つのイメージでしょう。

n次元ベクトルにおける内積 (u,v) = |u|*|v|*cosθ を考えたとき、
cosθ=1 なら、u,v の方向が一致している、つまり両者は一次従属(一次独立ではない)。
それ以外なら、u,v は一次独立で、たがいに他方のベクトルとは異なる向きの成分を含む。

こんな簡単なイメージも4次元以上になると、具体的な図を描けるわけでありませんが、
例えば「シュミットの正規直交化」などを実体験すると、頭脳に概念的な各自のイメージが形成
されるようです。

　http://www22.atwiki.jp/linearalgebra/pages/30.html

お礼

ありがとうございました。
やはりイメージはしにくいですが、知識としては理解できたと思います。

回答No.1

N64

何次元であろうが、二つのベクトルを含む平面が決まりますから、その平面の上で、二つのベクトルのなす角は、普通の2次元での角と同じだと思っております。

お礼

ありがとうございました。
やはりイメージはしにくいですが、知識としては理解できたと思います。