内積について

質問

→a=(p,2),→b=(-1,3),→c=(1,q)について、√2|→a|=|→b|で、→a-→bと→cのなす角が60°であるとき、p,qの値を求めよ。

ベクトルの内積を求める問題なんですが、cos60°として、なす角の公式に当てはめればいいのでしょうか？
いまいち解き方がわからないので、どのような手順でやっていったらいいか、ヒントをください。お願いします。

回答No.2

kkkk2222 · ベストアンサー

長文になります。このパターンは難解にはならないと思ったのですが、
もっと巧みに解けるのでは、と思うのですが。
　(p,q)の組が４通り出てきます。同値変形ではないので無縁解が出現します。それを除くのが面倒です。

○　最後に２重根号が現れます。
　現行の教育課程では学ばないので、
　もし知らなかったら、両辺を二乗して確認して下さい。

　ＰＣ上で解いているので（スクロールしないと見えないので）同じ式を何度も書いています。
　最初の辺りも、どの順番で書いたら良いのか迷いました。
　全ての条件を、pとqに変換して、最後に・・・。

→a=aと表記します。

まず条件、
a=(p,2)、b=(-1,3)、c=(1,q)、√2|a|=|b|、(a-b)・c=|a-b||c|/2

√2|a|=|b|・・・から始めます。
　2(|a|^2)=(|b|^2)
　　2((p^2)+4)=10
　　　((p^2)+4)=5
　　　　(p^2)=1
　　　　　　p=1,-1
-----------
内積　(a-b)=(p+1,-1)、、、c=(1,q)
　　　　(a-b)・c=p-q+1
-----------
準備　　　　|a-b|^2={(p^2)+2p+2}
　　　　　　　　|c|^2={(q^2)+1}
-----------
qを決定するために、(a-b)・c=|a-b||c|cos60度
　　p-q+1＝{　√{(p^2)+2p+2}√{(q^2)+1}　}/2
　　　{(p-q+1)^2}={(p^2)+2p+2}{(q^2)+1}/4
　　　　4{(p-q+1)^2}={(p^2)+2p+2}{(q^2)+1}
ここまで変形して置きます。
-----------
場合分け

　(1) p=1 のとき、

4{(2-q)^2}=5{(q^2)+1}
　4(q^2)-16q+16=5(q^2)+5
　　0=(q^2)+16q-11
　　　q=-8-5√3,-8+5√3

　　(p,q)=(1,-8-5√3),(1,-8+5√3)

　(2) p=-1 のとき、

4{q^2}={(q^2)+1}
　3(q^2)=1
　　　q=1/√3,-1/√3

　　(p,q)=(-1,1/√3),(-1,-1/√3)
------------------------------
　この後がやっかいです。
すぐに、無縁解とわかったら読み飛ばしてください。

a=(p,2)、b=(-1,3)、c=(1,q)、√2|a|=|b|、(a-b)・c=|a-b||c|/2

　　(p,q)=(-1,1/√3)を調べます。

a=(-1,2)、b=(-1,3)、c=(1,1/√3)、

√2√5=√10、
(a-b)・c=p-q+1=-1/√3
(a-b)=(p+1,-1)=(0,-1)
|a-b|=1
|c|=(2/√3)

-1/√3=1*(2/√3)/2・・・不適。
-------------------------------
a=(p,2)、b=(-1,3)、c=(1,q)、√2|a|=|b|、(a-b)・c=|a-b||c|/2

　　　(p,q)=(-1,-1/√3)は、

a=(-1,2)、b=(-1,3)、c=(1,-1/√3)、

√2√5=√10、
(a-b)・c=p-q+1=1/√3
(a-b)=(p+1,-1)=(0,-1)
|a-b|=1
|c|=(2/√3)
1/√3=1*(2/√3)/2・・・ＯＫ。
------------------------------
a=(p,2)、b=(-1,3)、c=(1,q)、√2|a|=|b|、(a-b)・c=|a-b||c|/2

　　　(p,q)=(1,-8-5√3)は、

a=(1,2)、b=(-1,3)、c=(1,-8-5√3)、

√2√5=√10、
(a-b)・c=p-q+1=10+5√3
(a-b)=(p+1,-1)=(2,-1)
|a-b|=√5
|c|=√(140+80√3)
10+5√3=√5*√(140+80√3)/2
10+5√3=√5√5√(7+4√3)・・・上記の２重根号です。
10+5√3=5*√(7+２√１２)
10+5√3=5(2+√3)・・・ＯＫ。

----------------------------------------------------------
a=(p,2)、b=(-1,3)、c=(1,q)、√2|a|=|b|、(a-b)・c=|a-b||c|/2

(p,q)=(1,-8+5√3)は、

a=(1,2)、b=(-1,3)、c=(1,-8+5√3)、

√2√5=√10、
(a-b)・c=p-q+1=10-5√3
(a-b)=(p+1,-1)=(2,-1)
|a-b|=√5
|c|=√(140-80√3)
10+5√3=5(2-√3)・・・不適。（計算は省略しました。）

ＥＮＤ

お礼

回答ありがとうございました。
わかりやすく教えていただいたので、納得できました！

回答No.5

info22

#1,#3です。

A#3ではp,qの方程式の解を全て示しました。
質問の解になる候補という意味で示しましたが検証でcosθのθが±60°とかいておいた通り、ベクトルの（正の）方向同士で角度を測るか、ベクトルの負の方向（逆の方向に延長した方向）も含めた角度を含めて量るかで±60°や±120°が含まれてきます。cos(±60°)=1/2やcos(±120°)=-1/2の場合がベクトルの向きの取り方でp,qの方程式の解で問題の解でないものが含まれてきます。
それを検証で実際に確認して欲しい意味でグラフ用紙にベクトル図を描いて見て下さい」と示唆しておきました。補足で解答を書いて質問していただけば回答するつもりでした。自分で解答をして頂かないと丸解答になってあなたのためにならないと判断しました。
＞p=-1のときのqの値が±√3/3になったのですが、解答をみてみると、答えはq=-√3/3だけでした。それはどうしてですか？
問題の解答とすべきp,qの組は、＜4通りの方程式の解についてベクトル(→a)-(→b)と(→c)の図を描いていただけば分かる通り＞全てが解になる保証があるわけでないので[検証]に実際に図に描いてθ=60°ではなくあえて±60°（考え方により±120°）と描いて確認するように示唆しておきました。グラフ用紙に図を描いて頂けば(p,q)=(-1,√3/3)=(-1,1/√3)の場合は(→a)-(→b)の負方向（ベクトルの向きの逆方向）と(→c)の（正の）方向との間の角が60°になります。ベクトルの正方向間の角度で測れば120°になります。
(→a)-(→b)の正方向が時計の針で6時の方向、(→c)の正方向は2時の方向になり、正方向間の角度は120°になりますね。
問題の解答としてはベクトルの正方向間の角度を内積のcosθの角度θとする為問題の解答から除外されているわけです。
他のp=1の2つの場合と(p,q)=(-1,-√3/3)=(-1,-1/√3)の場合だけがベクトルの正方向間の角度が60°となっていて問題の解答になっているわけです。
補足質問されたと言うことはベクトル図を描いて見えないと推察されますので、必ず(→a)-(→b)と(→c)の図を描いてみてください。納得されると思います。

お礼

回答ありがとうございました。
図を描いてみます！何度もありがとうございました。

回答No.4

kkkk2222

ANo.2です。

訂正の前に、今投稿しようと思ったら、
＃３様が４組あると書いています。
何度見直しても、３組のようです。
(p,q)=(-1,1/√3)は、
(a-b)・c=|a-b||c|/2
左辺は負です。右辺は正です。

今、判りました。

＞＞すなわちθが±60°
これが、思い違いの（元の）ようです。
ーーーーーーーーーーーーー
ーーーーーーーーーーーーー

＜本論＞

どうも間違っているようです。
無縁解は２組あると思うのですが、
読み直したら。
いまだに、無縁解が１組しかないのが不思議です。

最後の組はＯＫのようです。

まだ迷っています。
訂正の訂正になるやも知れません。

おそらくは、模範解答があると思うので、
よくよく吟味してみて下さい。

ーーー
訂正（？）
最後から５、６行目、
再度計算しつつ、

a=(p,2)、b=(-1,3)、c=(1,q)、√2|a|=|b|、(a-b)・c=|a-b||c|/2
(p,q)=(1,-8+5√3)は、
a=(1,2)、b=(-1,3)、c=(1,-8+5√3)、
√2√5=√10、

○　
(a-b)・c=p-q+1=１－（-8+5√3）＋１　＜追加＞
＝２＋８－５√３
＝１０－５√３　　これが合っているのが・・・。

この１０－５√３　が　最後の行の＜左辺です＞

(a-b)=(p+1,-1)=(2,-1)
|a-b|=√5

|c|＾２＝１＋{　（-8+5√3）＾２　}　＜追加＞
　　　　　　=5√(7-4√3)
＝１＋６４＋７５－８０√３
＝１４０－８０√３　これも合っています。

|c|=√(140-80√3)=√5*2*√(7-4√3)　＜追加＞
|a-b||c|/2=√5*√5*2*√(7-4√3)/2　＜追加＞
　　　　　　=5√(7-4√3)
　　　　　　=5√(7-2√12)
　　　　　　=5(2-√3)

１０－５√３=5(2-√3)・・・不適。
　　↑　　　　　　　　　　　　　↑
（訂正）　　　　　　　　（訂正）ＯＫ。

回答No.3

info22

分からない時は補足質問して頂かないと解決しませんよ。

p,qの方程式の解の組は
(p,q)=(1,-8-5√3),(1,-8+5√3),(-1,1/√3),(-1,-1/√3)
の4組あります。

[検証]
これらの組に対して
ベクトル(→a),(→b),(→c),(→a)-(→b)を実際にグラフ用紙上に描いて
(→c)と(→a)-(→b)のcosθ=1/2、すなわちθが±60°であることを確認して見ることがより深い理解をするのに大切だと思います。

回答No.1

info22

＞√2|→a|=|→b|
√2√(4+p^2)=√10
4+p^2=5
p^2=1
p=±1…(1)
＞(→a)-(→b)
=(p+1,-1)
内積=(p+1,-1)・(1,q)=p+1-q=√{1+(p+1)^2}√(1+q^2)cos60°
cos60°=1/2だから
4(p-q+1)^2={1+(p+1)^2}(1+q^2)
4(p-q+1)^2=(2+2p+p^2)(1+q^2)…(2)

(1),(2)からp,qの値の組を出せばいいです。
この先はできますね。

分からないなら、分かる範囲の解答を書いて補足質問して下さい。

補足

回答ありがとうございました。
解けましたが、p=-1のときのqの値が±√3/3になったのですが、解答をみてみると、答えはq=-√3/3だけでした。それはどうしてですか？