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gradの問題
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A(x,y)の形式解を書け、という意味だと思います。条件「v=gradAを満たすスカラー場A(x,y)が定義できる。」は、うるさい事を言わなければ（何階微分可能とか・・・）、次の条件と同等です。 rot×v＝0 (1) (1)は、3次元のベクトル場に対して定義されるものですが、vを、z成分が常に0の3次元ベクトルと考えれば、(1)を適用できます。このとき、 rot×v＝0 ⇔ Ａ(x，y)＝∫c v・dc (2) が成り立ちます。 ∫c は、2次元平面に任意に取った経路c上での線積分を表し、dcは経路cの線素ベクトルで、・は内積です。さらに積分は、cの始点を固定して行い、終点の方は自由です。その意味で、(2)の右辺のＡ(x，y)は、(x，y)の関数になります。 Ａ(x，y)を(2)のように（自分で）定義すると、積分の始終点（cの始終点）における積分値の差として、Ａ(x，y)は表されるので、始点における定数値分の不定性を、Ａ(x，y)は持ちます。 そこで、「原点においてA(0,0)=0とする。」です。cの始点を原点だと「決めます」。 問題は、スカラーポテンシャル（渦無し場，保存場）の定義を理解しているか？、を問うているように見えました。
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- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
その v とやらがどんなものか書いてありませんか?
お礼
回答ありがとうございます。 下の問題文のほかには何も書いていません。 よろしくお願いします。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
問題の前後に、もっと何か条件が書いてありませんでしたか？ 任意のベクトル場 v に対して v = grad A となるスカラー場 A が存在する訳ではありません。 スカラー場 A とベクトル場 B の組を持ってきて、 v = grad A + rot B とすることならできます。
お礼
ありがとうございます。 本当の問題は「ベクトル場vに対して、ｖ＝gradAを満たすスカラー場を定義することは可能であるか否か述べ、可能な場合はA(x,y)を求めよ。ただし、原点においてA(0,0)=0である。」です。 どうしていいのかよくわからないのでよろしくお願いします。
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