微積の問題です。

質問

どなたか以下の問題の答えを教えてください。

(1)スカラー場f（x,y）、ベクトル場V(x,y)に対して、∇・(fV)=(∇f)・V＋f∇・Vを示せ

(2)V=(2x+y,-x-3y),Cは(0,0)(1,0)(1,1)を順に結ぶ折れ線である。このとき、曲線C上で、微積分∮c V・dr を求めよ

回答No.1

alice_44

(1)
V(x,y) を成分表示して V(x,y) = (u(x,y), w(x,y)) とでも置き、
∇・(fV)　=　(∇f)・V + f(∇・V) へ代入してみるといい。

両辺をそれぞれ整理する過程で、この式が一変数関数の積の微分則に帰着
される様子が見てとれることと思う。

(2)
記号 ∮ を使っているが、これは閉路積分を表す記号。
C は (0,0) (1,0) (1,1) を順に結ぶ折れ線なのか、
(0,0) (1,0) (1,1) を順に結んだ後再び (0,0) へ帰る閉路なのか？

いづれにしろ、積分路のうち
(0,0) から (1,0) の部分では (x,y) = (t,0), dr = (1,0)dt、
(1,0) から (1,1) の部分では (x,y) = (1,t), dr = (0,1)dt、
(1,1) から (0,0) の部分では (x,y) = (1-t/√2,1-t/√2), dr = (-1/√2,-1/√2)dt、
各 t は 0≦t≦1 のスカラー変数
と置換できるので、一変数関数の積分に帰着できる。

頑張ってね。

お礼

ありがとうございました。