ベクトル解析のポテンシャルを求める問題について

質問

ベクトル場Ｖ＝(x+2y+4z)i+(2x-3y-z)j+(4x-y+2z)kが、rotV=0のときのＶのポテンシャルを求めたいのですが、解答を見てもよく分かりません。

(x+2y+4z)の積分、(2x-3y-z)の積分、(4x-y+2z)の積分をして、積分定数（それぞれC1・C2・C3）がでてくるところまではわかるのですが、解答にはそのあと「これらを比較してC1=(-3/2)y^2+z^2-yz、C2=(x^2/2)+z^2+4xz、C3=(x^2/2)-(3/2)y^2+2xyとすればよいことが分るから」と続き、答えが出ています。

これがよく分からないのですが、分かる方がいらっしゃいましたら教えてください。
よろしくお願いいたします。

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

ポテンシャルをPとすると
∂P/∂x = (x+2y+4z)
∂P/∂y = (2x-3y-z)
∂P/∂z = (4x-y+2z)
となるようなPを求める問題です。
　それぞれ積分すると、P=...という式が３つ得られる。でも、これらは全部同じPを指しているわけです。なので、
(1) どの式をとっても、項ごとの係数は全部同じでなくてはならない。たとえばxyの項の係数は３つの式のどれにおいても同じである必要があります。
つまり、そうなるように、積分定数を決めたい訳です。ただし、
(2) ∂P/∂xを積分して出てきた積分定数には、当然ながらxが含まれていてはいけません。他の二つの式についても同様です。

この二つの条件を満たすように積分定数を決めてやれば、3本の式は全部同じ式になり、そしてPが決まる。

お礼

なるほど！
ずっとひっかかっていたものが一気に解消されました！！！
今までなんとなくでしか不定積分の問題を理解できていませんでしたが、やっとすっきりしました。
本当にありがとうございました！

回答No.2

siegmund

ここがよくわからないという学生さんは結構多いです．
stomachman さんのご回答でほとんど尽きていますが，折角で
すからもう少し．

stomachman さんお久しぶりです．
二番煎じですが，ご勘弁下さい．

ポテンシャルをPとして
(1)　　-∂P/∂x = (x+2y+4z)
(2)　　-∂P/∂y = (2x-3y-z)
(3)　　-∂P/∂z = (4x-y+2z)
となるような P を求めることになります．
stomachman さんは手が滑って負号を抜かしてしまわれたよう
です．

(1)を x で積分してやると
(4)　　-P = (1/2)x^2 + 2xy +4xz + C_1(y,z)
になります．
stomachman さんも書かれておられますが，C_1(y,z)というと
ころが大事で，
積分定数というけれど y と z の関数です．
ただし，x が含まれていてはいけません．
(2)を y で積分し，(3)を z で積分し，もう一度(4)も併せて
書くと
(4)　　-P = (1/2)x^2 + 2xy +4xz + C_1(y,z)
(5)　　-P = 2xy - (3/2)y^2 - yz + C_2(x,z)
(6)　　-P = 4xz - yz + z^2 + C_3(x,y)
になります．
C_2(x,z) と C_3(x,y) の中身にも注意．
もちろんこれら３つは同じもののはずです．

C_1(y,z) を決めることを考えましょう．
(5)(6)には y と z だけが含まれる項(x は含まれない！)とし
て
-(3/2)y^2， -yz， z^2 がありますから
(7)　　C_1(y,z) = - (3/2)y^2 - yz + z^2
と選べばＯＫです．
あとの２つの C_2(x,z) と C_3(x,y) も全く同様の手順で決め
られます．

C_1(y,z) を決めるときに大事なことは，
(5)と(6)で現れる yz の係数が等しくなっていることです(今
は両者とも -1)．
もし，これが(5)で +yz，(6)で -yz などとなっていると，
C_1(y,z)がどうがんばっても３つの式を同じにすることは出来
ません．
yz の項をいじれるのは C_1(y,z) だけですからね．
C_2(x,z) は y を含んでいてはいけないので，yz の項はいじ
れないのです．
同様に，(1)(2)で xy の係数が等しい，(1)(3)で xz の係数が
等しい，
これらも大事です．
こういう風になっていないと，
P が求められない，すなわちポテンシャルが存在しないという
ことになります．

(5)(6) (あるいは(5)(7))で x^2 の項は係数が違うけれどいい
のか？
それは大丈夫です．
x^2 の項は C_2(x,z) にも C_3(x,y) にも x^2/2 が入ってい
ます．