ベクトル場について

質問

ベクトル場が
　(1)　v(x,y)=yi-xj
　(2)　v(x,y)=-yi+xj
　 　（ｖはベクトル、i,j は単位ベクトルです）
で与えられているとき、(1)と(2)は同じベクトル場を表しているのでしょうか。

(2)のベクトル場は
xy平面内で｜v｜=r　　r ; 原点からの距離
　　　　　　　ｖの向き ; 半径ｒの円周に沿って、反時計まわりの向き
　　　　　　　　　　 θ ; vとy軸とのなす角
とすると
v=(-rsinθ,rcosθ）
　　　　sinθ=y/r　, cosθ=x/r 　
　∴v(x,y)=(-y,x) より　　　　　　　　　　　　　
(2)のベクトル場は原点を中心とした円の円周方向を反時計まわりに向いたベクトルの集まりである事はわかりますが、　教科書では(1)のベクトル場も同じく原点を中心とした円の円周方向を反時計まわりに向いたベクトルの集まりとなると書いて図示してあります。

なぜ(1)のベクトル場がそのようになるのか教えて下さい。

(2)のx成分=-y ∴y=-x よって(2)のx成分=yとすると
(2)のy成分=-x となり、結局これは(1)式である。という事でよいのでしょうか？

(1)と(2)の発散はどちらも0となる事より同じベクトル場を表しているようにおもわれるのですが…。

回答No.2

toranekosan · ベストアンサー

還暦で、数学と物理を独学！！素晴らしいです！学問は生涯通じて学ぶものだと僕は考えているし、義務として学ぶより、楽しみとして学ぶ方が応用性を身につける上で非常に重要だと思っています。僕は若輩者ですが、どうやら物理に関してはちょっと先輩のようなのでご質問に答えたいと思います。そして電磁気学に興味があるようですね。

＞v1*gradfは、外積の事でしょうか。そうだとすると、
内積です。記号が旨く使えなかったので・を使用すべきでした。外積も×を使用すべきでした。さらにここでのgradの使い方は間違いですね。あくまでも二次元での話なので、（∂/∂x,∂/∂y）とすべきでした。（三次元での話と殆んど同じ意味です）
そして、gradf=2(x,y)となり、v1・gradf=0と成る事が分かると思います。同じくv2・gradf=0と成ります。内積が０であるということは直交している事に等しいのです。
さて、このgradfとは何でしょうか？原点を中心とする円を描いた時（半径はどうでも良い）、円上の点Pを(x,y)とするならば、gradfのベクトルは原点からその点に向かって伸びています、つまり点Pでの法線ベクトルである事が分かります。そして点Pにおけるv1やv2のベクトルはgradfと垂直である事が分かると思います。点Pでの法線ベクトルと垂直になるベクトルは、点Pの接ベクトルにだけです。点Pは任意の点なので…円上の全ての点におけるv1やv2はその点の法線ベクトルと垂直をなしている事が分かっていただけるかと思います。そうなると、円上においてv1(あるいはv2）ベクトル場の向きが円に接する方向で、尚且つそのv1(あるいはv2）ベクトルの大きさが円の半径に等しいという事がわかります。（補足v1やv2の大きさは原点からの距離に等しい）

>　A2=(1,1,-yx)とすると、rotA2=(-x,y,0) となりませんか？　間違っていたらごめんなさい。
その通りあってます！！僕の単純なミスです。気をつけるべきでした^^;

＞カテゴリー違いかも知れませんが、回答者様が物理にもお強い事をみこんで、

簡単に言いますと、「電流による磁場Ｈcは、divＨc=0 という性質がある。」と言うのはマクスウェルの電磁気での法則からなります。電流による磁場Hcとは、電磁気学に出てくる真空中の磁場Hと電場Eは云々で出てくる磁場です。電磁気学では、磁束保存の式として次の式が法則として示されています。
divB=0(磁束密度B、B=μHc)
よってdiv(μHc)=μdivHc=0,divHc=0と成るわけです。
透磁率μ（これは真空中と物質中で値が異なる）にHc掛けたものであるBは必ず上記の法則を満たします。逆にいうとBがこうだからHcがこうなのです。
さて、divB=0とはどういう事か？これは磁石のようにある点から磁場が発生する事はなく、磁界ベクトルを辿って行くとかならず元の点に戻りますよという事です。もしdivBがゼロでない点があれば、そこから磁場が発生しているという事になります。磁石ならばN極やS極で磁場が発生しているのでdiv(μ'Hm)はゼロでない場所があります。しかし、電流由来のものだとN極やS極など無く磁界ベクトルを辿ると元の点に障害なく戻るからなのですね。divB=0からB=rotAというベクトル関数が導き出されて・・・このBの性質は…ストークスの定理を使うと
まぁ上のような解釈が可能となるわけです。

文章だけで説明すると意外に難しいものですね。
電磁気学と流体はおなじベクトル関数などを使うので縁がある学問です。
絵もあわせてdivの意味やrotなどの意味は
http://homepage3.nifty.com/iromono/PhysTips/divrotgrad.html
電磁気学の説明（これはかなりお勧めです）
http://dir.itc.u-tokyo.ac.jp/~okabe/ja/temp/elemag/node2.html

参考URL：

http://dir.itc.u-tokyo.ac.jp/~okabe/ja/temp/elemag/node2.html

お礼

今晩は、早速のご回答有難うございます。
内積だったんですね。私こそ早く気づくべきでした。どうも年を取ると頭が固くなって想像力が乏しくなって困ります。(^_^)
ご説明大変よく分かります。また厚かましいお願い聞いて頂き有難うございます。

そうですか。Ｂ=μＨc となるんですね。
divB=0 は先のご回答やＨＰにも記載されていましたので、一応理解は出来たかなとはおもっていました。
丁寧なご説明でよく納得できました。

早速お薦めのサイト、お気に入りに登録させて頂きます。
また勉強の発展についても親切なアドバイス有難うございます。残念ながら英語はちょっと苦手です。

でもあなた様のような親切で心強い方がおられる事で、今後も物理の勉強を続けて行けそうです。

また疑問点が出た時、質問しますのでその折は宜しくお願いします。有難うございました。

回答No.3

toranekosan

後はネットで検索すると実は専門書並みの解説をしてくれるサイトもありますのでご利用ください。
退職後金銭的に余裕があれば大学の聴講生制度を利用して興味のある分野の講義を聴いてみては如何でしょうか？僕が大学生の頃そういう方がいらっしゃいました。
さらに最新の知識が…というのならばコンファレンスなど学会が行っている発表会みたいなものに参加して見ると楽しいかもしれませんし、英語が読める事が必須になるかもしれませんが海外の雑誌などをネット上で読む事も出来ます（お金が必要です。フリーのもありますよ。）。あとは学会誌など…大学の図書館などで閲覧が可能です。普通の図書館だと学問専門書が少ないので…。

回答No.1

toranekosan

違うベクトル場を示しています。
i=(1,0),j=(0,1)と考えて良いので、
v1(x,y)=(y,-x)
v2(x,y)=(-y,x)と書けます。
さて、このベクトル場はどのように見えるのでしょうか？
|v1|=sqrt(y^2+x^2)=|v2|=sqrt(y^2+x^2)
から双方のベクトル場のノルム（大きさ）は等しい。
一方v1+v2=(y-y,-x+x)=(0,0)であるので、
v1=-v2となり、真逆を向くベクトルであると考えられます。

大きさが同じで向きが逆ならばまったく違うベクトル場です。さて、このベクトル場が形成するベクトルの方向なのですが、点(1,0)の時、v1=(0,-1),v2(0,1)となるので、v1は普通に考えたら時計周り、v2は反時計回りですね。このベクトル場は、あるスカラー関数をfとすると、
f=x^2+y^2-R^2で、
v1*gradf=v2*gradfとなり、動径の円を描くと円上においてベクトル場の向きが円に接する方向で、尚且つそのベクトルの大きさが円の半径に等しいという事がわかります。

で、y=-x云々の話しですが、この操作自体が座標の置き換え操作に当たります。
つまり、座標軸に対して
0 -1
-1 0
の行列操作を行った事に等しくなります。
このような操作はしてはいけません。正しくはv1のx成分をv1x等と書くと、v2x=-y,v2y=xよって、v1x=-v2x,v1y=-v2yということから同様に、向きが逆のベクトルである事が分かります。

最後に発散ですが、同じ発散をしたからといって同一ベクトル場を表していると言う事では無いという事はこの例でも分かると思います。
div(rotA)=0=div(-rotA)=div(rot(-A))等。
divB=0から、B=rotAというベクトル場だと考えられますが、Aも-Aも解である事に注意しなければいけません。
A1=(1,1,yx)とすると、rotA1=(x,-y,1)で、もあり、
A2=(1,1,-yx)とすると、rotA2=(-x,y,1）でもあり、
双方ともかならずdiv(rotA)=0となります。divはその意味からベクトルの方向に関しては規定しません。gradかrotからベクトルの方向が決められますね。

参考URL：

http://yukai.jp/~rwf/note/math/tensor/tensor.html

補足

深夜にもかかわらず、丁寧なご回答ありがとうございました。昨日の内にお礼をしようとおもいましたが、いい加減な理解のままでお礼をするのはかえって失礼かとおもい、私なりに一応ご回答を理解出来てからとおもい、お礼が遅くなりました。ごめんなさいね。

実は、質問には書かなかったのですが、教科書ではベクトル場(1)の回転が、rotv1=-2と記載されており、別の本では(2)の回転が、rotv2=2となっていましたので、ベクトル場が同一とは変だなとはおもっていました。

独学で物理と物理数学を勉強し来年還暦を迎える者として、発散と回転のイメージがつかめずに悩んでいました。素晴らしいＨＰを教えていただき(ナブラベクトルのページの回転の説明は本当に素晴らしいとおもいます)ました事と親切なご回答でおぼろげながら回転、発散のイメージを描けるようになりました。

divはその意味からベクトルの方向に関して規定しない事、gradかrotからベクトルの方向が決められる事、理解できました。

＞このベクトル場は、あるスカラー関数をfとすると、
　f=x^2+y^2-R^2で
v1*gradf=v2*gradfとなり、動径の……という事がわかります。のところですが、

v1*gradfは、外積の事でしょうか。そうだとすると、
v1*gradf=2(x^2+y^2)k
v2*gradf=-2(x^2+y^2)k k;単位ベクトルです。
となりませんか？　間違っていたらごめんなさい。
その事が、動径の円を描くと円上において……半径に等しいという所が、なぜ結びつくのか教えて下さい。
また上式のＲは動径と関係がありますか。

v1のベクトルの方向とgradfの面の勾配の向きのなす外積の方向が円の接線方向となる、という事でしょうか？

＞A1=(1,1,yx)とすると、rotA1=(x,y,0)
　A2=(1,1,-yx)とすると、rotA2=(-x,y,0) となりませんか？　間違っていたらごめんなさい。

カテゴリー違いかも知れませんが、回答者様が物理にもお強い事をみこんで、厚かましいお願いですが、
磁石の磁化による磁場Ｈm　
電流による磁場をＨc　と書く事にすると、
　Ｈ=Ｈm+Ｈc という式がなりたちます。
　Ｈm=-gradＶm　という事は分かります。
電流による磁場Ｈcは、divＨc=0 という性質がある。
とあります。疑問点は　divＨc=0　とはどういう事か、という事となぜＨcはその性質があるのか、という事です。分からず困っています。我儘なお願いですがご存知でしたら、教えて下さい。

随分と長文になってしまってすみません。よろしくお願いします。