大学の数学「空間とベクトル」の解法がわかりません。

質問

問題の解き方がわかりません。どなたか教えてください。

領域DをD＝｛(x,y)｜ｘ^２＋ｙ^２≦１｝とし、その周囲の円周をCとする。Cには反時計回りの向きを与える。ベクトルの場ｖ(ｘ)＝（ｘ＋２ｙ　３ｘ＋４ｙ）　-実際は縦２行-　の回転rotｖを計算し、それを用いて接ベクトル型線積分∫C ｖ(ｘ)・ｄｘ　-実際はCは∫の下-　の値を求めよ。

答えは「Π(パイ）」になっています。よろしくお願いします。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

rot(V↑)=i↑(∂Vz/∂y-∂Vy/∂z)+j↑(∂Vx/∂z-∂Vz/∂x)+k↑(∂Vy/∂x-∂Vx/∂y)

↑はベクトルであることを示す。i↑,j↑,k↑はx,y,z方向の単位ベクトル

V↑＝（ｘ＋２ｙ　３ｘ＋４ｙ）を代入して

rot(V↑)=k↑

ストークスの定理より

I=∫(C)V(x)↑・dx↑=∫(S)rot(V(x)↑)・dS↑=∫(S)k↑・dS↑

Sは領域D、rot(V↑)=k↑を代入して

I=∫(S)rot(V(x)↑)・dS↑=∫(S)k↑・dS↑=S=πr^2=π

お礼

ありがとうございました。難しそうですが、回答を復習して理解できるようにしたいと思います。

回答No.2

spring135

＃1です。補足です。

dS↑は面に垂直な方向のベクトルで、Dがxy平面内にあるのでその垂直ベクトルはｚ方向、すなわち

dS↑＝k↑dS

よって

∫(S)k↑・k↑dS＝∫(S)dS＝S（領域Dの面積）