数学の問題の解法を教えてください。

質問

１．Oを原点とする空間内に3点A(-1,1,1)とB(1,-1,1)とC(1,1,-1)がある。
(1)ベクトルABおよびベクトルACに垂直で大きさ1のベクトルeを求めよ。
(2)△ABCを1つの面に持つ正四面体のほかの頂点Eの座標を求めよ。
(3)正四面体EABCの体積を求めよ。

2　点Qが円x^2+y^2-2x-4y+1=0の上を動くとき、点A(3,6)と点Qを結ぶ線分AQの中点Pの軌跡の方程式を求めよ。

3　放物線y=2x^2+4tx+4tの頂点は、tが正の値をとって変化するとき、どのような曲線を描くか。その曲線の方程式を求めよ。

4　4点(2,0,0)(0,1,1)(1,1,0)(-1,2,1)が同一平面q1の上にあるが、このとき方程式2x+3y-2z=1で表される平面q2とq1の共有部分の直線の方程式を求めよ。また、この直線に平行で大きさ√5のベクトルvを求めよ。

5 平面ベクトルの列　v0,v1,v2,・・・・・・　は任意の自然数nに対し　vn=vn-1+v1-V0を満たす。v0=(1,0) v1=(0,1)のとき、v0とvnのなす角度が135°より小さいことを示せ。

どれか一問でも構いませんので、お時間の空いている方、どうかよろしくお願いします。

回答No.7

j-mayol

2　点Qが円x^2+y^2-2x-4y+1=0の上を動くとき、点A(3,6)と点Qを結ぶ線分AQの中点Pの軌跡の方程式を求めよ。

Ｑ（p,q) P(x',y')とおくと　ＰがＡＱの中点だから　Ｐ{(p+3)/2,(q+6)/2}　したがって　(p+3)/2=x' (q+6)/2=y'　これをそれぞれp,qについて解くと、p=2x'-3 q=2y'-6　となる　Ｑは円上の点であるから　p,qを与式(x-1)^2+(y-2)^2=4 のｘ、ｙに代入して
(2x'-3-1)^2+(2y'-6-2)^2=4 これを計算すると　(x'-2)^2+(y'-4)^2=1　となる
したがって軌跡の方程式は　(x-2)^2+(y-4)^2=1である

お礼

ありがとうございました

回答No.6

USB99

Vn － Vn-1 = V1 － V0
Vn-1 － Vn-2 = V1 － V0
　　　.
V2　 － V1　 = V1 － V0

全て足すと
Vn － V1＝(n-1) （V1 － V0）　∴　Vn ＝ ｎV1 － （n-1) V0

0とVnのなす角度をθとすると内積より

cos θ＝ Vn・V0／｜Vn｜ ｜V0｜　＝　－（n-1/√（ｎ^2＋（n-1)^2）
　　　＝　－ １／√（（（１＋1/（n-1)）^2＋１）
　　　＝－１／√（２＋2/（n-1)＋（1/(n-1)）^2）
　　　＞－１／√２

よってθ ＜ 135°

お礼

ありがとうございました

回答No.5

USB99

（４）
A（２，０，０）B（０，１，１）C（１，１、０）とすると
平面ｑ１に垂直なベクトルの一つはBA×BC＝（１、１、１）となる。（×は外積）

また、2x+3y-2z=1の法線ベクトルの一つは（２、３、－２）となる。

両方の平面に含まれる直線は、この二つのベクトルに対して垂直であるから、
（１，１，１）×（２、３、－２）＝（－５、４，１）が直線の向きを表すベクトルである。

B（０、１、１）は平面ｑ１にもｑ２にも含まれるから、共通の直線はこの点を通る。
よって、直線は
ｘ＝－５ｔ、ｙ＝４ｔ＋１、ｚ＝ｔ＋１
もしくは
-x/5＝（y-1)/4＝z-1

とりあえず（１）～（４）まで
間違ってたらごめん。

お礼

ありがとうございました

回答No.4

USB99

（３）
ｙ＝２（ｘ＋ｔ）^2 - 2t^2＋4tと変形できるから

頂点の座標を（ｘ、ｙ）とすると
ｘ＝-t、ｙ＝－２ｔ^2＋４t
t=-xを代入して
　　　　ｙ＝－２ｘ^2ー4x（ただし、ｘは負）

お礼

ありがとうございました

回答No.3

USB99

（２）
（ｘ－１）^2＋（y-2)^2＝４と変形できるから
ｘ＝１＋2cosθ、ｙ＝２＋2sinθと置き換えられる。

(3,6)との中点（ｘ、ｙ）は
ｘ＝1/2（３＋１＋２cosθ）＝２＋cosθ
ｙ＝1/2（６＋２＋２sinθ）＝４＋sinθ
よって、ｘ－２＝cosθ、y-4＝sinθ
よって（ｘ－２）^2＋（y-4)＾２＝１

お礼

ありがとうございました

回答No.2

USB99

(1)
AB=(2,-2,0),AC=(2,0,-2)だから、AB×AC＝（4,4,4)　よって、e＝√3/3（1,1,1)

E（x,y,z)とすると
AE・BE＝AE・CE＝BE・CE＝AB・AC＝４　（AE・BEはAEベクトルとBEベクトルの内積）
よって
(x-1)(x+1)+(y+1)(y-1)+(z-1)^2=4．．(1)

(x-1)(x+1)+(y-1)^2+(z-1)(z+1)=4．．(2)
(x-1)^2+(y-1)(y+1)+(z-1)(z+1)=4
(1)ー(2)よりy=z　同様にしてx=y=Z
よって、(1)より３ｘ^2－２ｘ－５＝０　　ｘ＝－１、5/3
よって、（-1,-1,-1)、（5/3、5/3、5/3)

ABCの作る平面は(-1、１、１）を通り、その法線ベクトルの一つは（１，１，１）だから
その平面の式は　ｘ＋１＋ｙ－１＋ｚ－１＝０、すなわちｘ＋ｙ＋ｚ－１＝０とかける。
この平面に点（－１、－１、－１）からの距離は
　　　　abs（－１－１－１－１）/√（１^2＋１^2＋１^2）＝４/√３．．．これが高さ
底面の面積は正三角形だから、
　　　　1/2√８√８sin（π/3）＝√12
よって、．．．．

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

h250310

３平方Ｍから６Ｖを作ればいけます

補足

何の問題に対して言ってるのでしょうか？
詳しくお願いします。