ベクトル場の解析についてです

質問

f(x,y)=[-y/(x^2+y^2) , x/(x^2+y^2)]で与えられる二次元のベクトル場がある時

(1) 単位円上の点P(がx軸とπ/4の角度を成す原点からの直線が単位円と交わる点、第一象限)
におけるf(x,y)を図示せよ

(2) ベクトル場f(x,y)の発散を求めよ(原点は除く)　　

(3) 単位円に沿ったf(x,y)の反時計回りの積分　∫f(x,y)・ds を求めよ　
　　(dsは線素ベクトル、・は内積を表す)

という問題を出され、解いたところ次のような答えになりました

(1)は　dx/dt=λ(-y/x^2+y^2) dy/dt=λ(x/x^2+y^2)として計算、x^2+y^2=1　(単位円ですよね)

(2)はdivなので ∂f/∂x + ∂f/∂y = 2xy/(x^2+y^2)^2 - 2xv/(x^2+y^2)=0

(3)は　-∫y/(x^2+y^2) dx -∫x/(x^2+y^2) dy

　　　　x=acosθ　y=asinθ　とおいて　dx=-asinθdθ　dy=acosθdθ

　　　　これを代入して計算すると-π/2となりました

これらは正しいのでしょうか?

回答No.2

rnakamra · ベストアンサー

#1のものです。

>(1)　大きさは1、向きは　a・b = |a|・|b|cosθ　a・b = a1b1+a2b2 (aはベクトル場、bはP点で)
>|a|=1 |b|=1/√2　　cosθ=x-y/(x^2+y^2) P点における、とのことなので(1/√2,1/√2)を代入
>　　　cosθ=0 となったので向きは単位円の接線方向でしょうか　自信がないです

OKです。接線方向に大きさ"1"のベクトルになります。
これは単位円上にとどまらず、原点を中心とする全ての大きさの円周上で成り立ちます。

>(3) こんなところで間違えるとは・・・
>　　 計算結果は変わらなかったのですがどうなのでしょう

x=acosθ　y=asinθ　とおいて　dx=-asinθdθ　dy=acosθdθ
としてa=1として代入すると
∫f(x,y)・ds=∫[0→2π](sinθ)^2dθ+∫[0→2π](cosθ)^2dθ
となります。
(sinθ)^2+(cosθ)^2=1ですからこの積分は簡単です。

(別解)#1で書いたように
(1)よりf(x.y)はdsと平行かつ大きさが"1"であることからf(x,y)・ds=dl (dl=|ds|)
となります。
∫dl
とは積分を行う経路の長さそのものですからこの値は単位円の円周の長さに等しくなります。

お礼

(1) はよかったのですね、アホな質問かもしれませんが接線方向のベクトルの
　　矢印の向きはどうなるのでしょうか

(3)はdxとdyにそれぞれ逆のものを代入してました、π/2ですよね。

別解も勉強になりました、このような点が分かればもっとスムーズにいけそうですね

回答No.4

rnakamra

#1のものです。
>(3)はdxとdyにそれぞれ逆のものを代入してました、π/2ですよね。

単に、yで積分するほうの式の符号が逆になっているというだけです。

>-∫y/(x^2+y^2) dx -∫x/(x^2+y^2) dy
ではなく
-∫y/(x^2+y^2) dx +∫x/(x^2+y^2) dy
です。

お礼

自分で計算したときにdxとdyを入れ違えるミスをしていたのでこんな書き込みをしてしまいました。

文章を分かりづらくしてしまい申し訳ありません。

回答No.3

rnakamra

#1のものです。

> 接線方向のベクトルの
>　　矢印の向きはどうなるのでしょうか

単位円周上の接線方向には反時計回りの向きと時計回りの向きの2方向が考えられますが、これは実際に数字を入れてみて確認してみればよいでしょう。
(x,y)~(1/√2.1/√2)をいれて確認してください。

(3)はdxとdyにそれぞれ逆のものを代入してました、π/2ですよね。
この積分範囲は第1象限限定ですか?
それならπ/2でよいのですが、単位円周上1周ということでしたら2πとなります。

お礼

(3)の積分範囲は単位円全体でした、なので2πになりますね

(1)はｆ（ｘ、ｙ）に(1/√2.1/√2)を入れるのでしょうか?　そうすると(-1/√2　1/√2）となりましたが
向きをどう求めるかは分かりませんでした。

回答No.1

rnakamra

(1)f(x,y)はベクトルです。
Pにおけるf(x,y)を矢印で図示すれば良い。
f(x,y)の向きと大きさを考えてみればよいでしょう。
(ヒント：大きさはすぐわかる。向きはf(x,y)とPの位置ベクトルの内積をとるとわかると思います)

(2)質問者の回答でよいと思います。

(3)
>-∫y/(x^2+y^2) dx -∫x/(x^2+y^2) dy
これは
-∫y/(x^2+y^2) dx +∫x/(x^2+y^2) dy
の間違いではないか?

実は(1)結果から考えると、f(x.y)・ds=dl (dlはベクトルdsの大きさ)となります。これを積分したものの値はその経路の長さになります。

お礼

回答ありがとうございます

(1)　大きさは1、向きは　a・b = |a|・|b|cosθ　a・b = a1b1+a2b2 (aはベクトル場、bはP点で)
|a|=1 |b|=1/√2　　cosθ=x-y/(x^2+y^2) P点における、とのことなので(1/√2,1/√2)を代入
　　　cosθ=0 となったので向きは単位円の接線方向でしょうか　自信がないです

(3) こんなところで間違えるとは・・・
　　 計算結果は変わらなかったのですがどうなのでしょう