解析の問題です。教えてください。

質問

（１）ｘとｙがともにｔの関数である時、ｘとｙに関する次の連立方程式を、初期条件ｘ（０）＝１、ｙ（０）＝１に対して解きなさい。
　　　　　ｄｘ/dt=5/6x+2/3y
dy/dt=-x-y
(2) 初期条件ｘ（０）＝2、ｙ（０）＝0に対して解きなさい。
dx/dt=x+2y
dy/dt=2x+y

よろしくお願いします！

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

(1)
　x'=(5/6)x+(2/3)y …(A)
　y'=-x-y …(B)

(B)から
　x=-y'-y …(C)

(B)をtで微分
　y''=-x'-y'
　x'=-y''-y'…(D)

(C),(D)を(A)に代入

　-y''-y'=-(5/6)y'-(5/6)y+(2/3)y

整理して
　y''+(1/6)y'-(1/6)y=0

この解き方は分かりますね。解いて見てください。
解くと y=c1*e^(-t/2) +c2*e^(t/3)
　y(0)=0より　0=c1+c2 ∴c2=-c1
　∴y=c1*e^(-t/2) -c1*e^(t/3) …(E)
　y'=-(c1/2)*e^(-t/2)-(c1/3)*e^(t/3) …(F)

(E),(F)を（C)に代入して
　x=-y'-y=-(c1/2)*e^(-t/2) +(4/3)c1*e^(t/3)　…(G)

　x(0)=2より
　2=-c1/2 +(4/3)c1=(5/6)c1 ∴c1=12/5

(G),(E)に代入
　x=-(6/5)*e^(-t/2) +(16/5)*e^(t/3)
　y=(12/5)*e^(-t/2) -(12/5)*e^(t/3)

(2)
これも(1)と同様に x,x'を求め、yだけの２階線形斉次方程式を導いて解き、初期値y(0)を代入して任意定数を１つ減らしたyを求めます、それを元の方程式に代入してxを求めます。
そのxに初期条件x(0)を代入して残りの任意定数を決定してやり、x,yの式に代入してx,yを
求めれば完了です。

やってみてわからなければ途中計算を補足に書いて分からない箇所を質問して下さい。

回答No.1

rnakamra

(2)だけ説明します。
x,yを成分とする列ベクトルを(x,y)^t,行列A=(1 2,2,1) (1 2　が1行目、2 1　が2行目の行列)とする。

P*A*P^-1=(λ1 0,0 λ2)=Bと対角化する行列Pと固有値λ1,λ2を求める。

A=P^-1*B*Pであるから元の連立微分方程式は、
d/dt(x,y)^t=P^-1*B*P(x,y)^t
両辺に左からPをかけると
P*d/dt(x,y)^t=d/dt(P(x,y)^t)=B*(P(x,y)^t)
となる。

P(x,y)^t=(z,w)^tとおくとこの式は
dz/dt=λ1*z
dw/dt=λ2*w
となり、z=C1*exp(λ1*t),w=C2*exp(λ2*t)が導けます。後はx,yの表式をえてから初期条件を代入、C1,C2を決めればよいでしょう。