ラプラス・フーリエ変換の問題について

質問

ラプラス・フーリエ変換の問題について
毎回で申し訳ありませんが、今回もいくつか分からない問題があったので解答の方をお願いします
(1)関数g(x)を求めよ
∫[-∞,∞]∫[-∞,∞]g(x-y)g(y-z)g(z)dydz = [ 2πexp{-(x^2 / 6)} ] / √3
・積分範囲から、おそらくフーリエ変換に関する問題だと思うのですが、全く解法が思いつきません。お手数ですが、解法手順を示しながらの解答をお願いします^^;

(2)X(s)，Y(s)を求め、それを使いx(t)，y(t)を求めよ
(dx(t) / dt) = sint - ∫[0,t]y(t - τ) x(t)dτ
(dy(t) / dt) = t - 3*∫[0,t][(t - τ) * { dy(τ)/dτ ｝]dτ
(※上の式は連立方程式です。初期条件は、x(0) = 0,y(0) = 1)
・こちらの1本目の式は、畳込みよりとラプラス変換より、
X(s) = {1 /(s^2 + 1) } - X(s)Y(S)
になると思っています
しかし、2本目の式の積分部分が全く分からず、その上ラプラス変換の連立方程式は教科書などでも見たことがないので、お手上げ状態です。こちらも解法手順を含めた解法をお願いします^^;

回答No.2

aquatarku5 · ベストアンサー

(1)積分の式の両辺をフーリエ変換する。
F[左辺]
=1/(2π)∫[-∞,+∞][左辺]exp(-iωx)dx
=1/(2π)∫[-∞,+∞]g(x-y)exp(-iωx)dx∫[-∞,+∞]g(y-z)dy∫[-∞,+∞]g(z)dz
=∫[-∞,+∞]exp(-iωy)G(ω)g(y-z)dy∫[-∞,+∞]g(z)dz
　※F[g(x)]=G(ω)とおいた
=2πG(ω)・1/(2π)∫[-∞,+∞]g(y-z)exp(-iωy)dy∫[-∞,+∞]g(z)dz
=2πG(ω)・∫[-∞,+∞]exp(-iωz)G(ω)g(z)dz
=(2π・G(ω))^2・1/(2π)∫[-∞,+∞]g(z)exp(-iωz)dz
=4π^2・G(ω)^3

F[右辺]
=2π/√3・1/√(2・1/6)・exp(-ω^2/(4・1/6))・1/√(2π)
=√(2π)・exp(-3ω^2/2)

∴G(ω)=1/√(2π)・exp(-ω^2/2)
∴g(x)=∫[-∞,+∞]G(ω)exp(iωx)dω
=1/√(2π)・2√(1/2・π)・exp(-x^2/2)=exp(-x^2/2)

(2)1本目の式の被積分項のx(t)はx(τ)の誤りかと存じます。
仮にx(τ)だとして話を進めると、両方の式をそれぞれラプラス変換すると、
sX(s)-x(0)=1/(s^2+1)－X(s)Y(s)
sY(s)-y(0)=1/s^2-3(sY(s)-y(0))・1/s^2

2番目の式より、
Y(s)=(s^2+4)/{s(s^2+3)}=1/s+1/3(1/s-s/(s^2+3))
∴y(t)=(4-cos(√3t))/3

1番目の式に、Y(s)=・・・を代入して整理、
X(s)=s(s^2+3)/{(s^2+1)(s^2+2)^2}
=2s(1/(s^2+1)-1/(s^2+2))-1/(4√2i){1/(s-√2i)^2-1/(s+√2i)^2}
∴x(t)=2(cos(t)-cos(√2t))-1/(4√2i){texp(it√2)-texp(-it√2)}
　　　=2(cos(t)-cos(√2t))-√2tsin(√2t)/4

お礼

物凄く丁寧に教えて頂きありがとうございます。
自分はガウス関数のフーリエ変換で一杯一杯の人間です。そんな自分でもここまで丁寧に書いて頂いたら理解がし易くて非常に助かります
誤表記については本当に済みませんでした^^;

回答No.1

Tacosan

(1) 「フーリエ変換に関する」と思うなら, フーリエ変換してみたら?
(2) 「*」が普通のかけ算だとして... これ, 上の積分は畳み込みじゃないよね. ついでにいうと左辺のラプラス変換もおかしいと思う. 一方下の積分はただの畳み込みなので, そっちは計算できる. あるいは, ラプラス変換しなくても t で微分してゴニョゴニョすれば解けるんじゃないかなぁ.

お礼

肝心のお礼を書き忘れていました
結局自分の力では答えを導出出来ず、助言を役立てることは出来ませんでした
しかし、あなたの助言のおかげで畳込みと積分定理の違いなどに気付くことが出来たのは物凄く重要なことだと思っています
有難うございました

補足

(1)3つの積？の状態のフーリエ変換が全く分からないのです。そのため、お手上げ状態なんですよ・・・
第一、フーリエ変換に至っては例題などだとここまで難しいのは解いたことがなくて・・・
(2)確かに左辺のラプラス変換はおかしいですね。初期条件により、X(0)=0なのは良いとしても、X(s)に掛かるsを書き忘れました^^;