空間とベクトルの解法詳細と回転計算
- 空間とベクトル(大学数学)の解法詳細と回転計算について詳しく教えてください。
- 領域DをD＝｛(x,y)｜ｘ^２＋ｙ^２≦１｝とし、その周囲の円周をCとする。Cには反時計回りの向きを与える。ベクトルの場ｖ(ｘ)が(1)～(3)のとき、回転rotｖを計算し、それを用いて接ベクトル型線積分∫C ｖ(ｘ)・ｄｘ -実際はCは∫の下- の値を求める方法を教えてください。
- 質問文に提示されているｖ(ｘ)の値に対して、それぞれ回転rotｖを計算し、接ベクトル型線積分の値を求める方法を教えてください。
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空間とベクトル(大学数学)の質問です
解き方がわかりません。どなたか解法の詳細を教えてください。 領域DをD＝｛(x,y)｜ｘ^２＋ｙ^２≦１｝とし、その周囲の円周をCとする。Cには反時計回りの向きを与える。ベクトルの場ｖ(ｘ)が(1)～(3)のとき、回転rotｖを計算し、それを用いて接ベクトル型線積分∫C ｖ(ｘ)・ｄｘ -実際はCは∫の下- の値を求めよ。 (1)ｖ(ｘ)＝（3ｘ＋5ｙ 2ｘ＋4ｙ） -実際は縦２行- 答は「-3Π(パイ）」 (2)ｖ(ｘ)＝（2ｘ－4ｙ 3ｘ－5ｙ） -実際は縦２行- 答は「7Π(パイ）」 (3)ｖ(ｘ)＝（ｘ－4ｙ 2ｘ－5ｙ） -実際は縦２行- の答えは「6Π(パイ）」 になっています。問題にストークスの定理を使うとありますが、rot(ｖ)の求め方からわかりません。計算力不足で恐縮ですが、よろしくお願いします。
- atcazbj4
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#1の回答への補足というかつっこみ。 >∫[C]v(x)・dx↑=∫[D]rot{v(x)}dS (2) 右辺は正しくは ∫[C]v(x)・dx↑=∫[D]rot{v(x)}・dS↑ (2) dS↑は微小面積要素にその面の単位法線ベクトルをかけたもの。 法線ベクトルの向きは左辺のCの周回の向きから右ネジの進む向きをとる。 となります。(内積とらないと左辺がスカラーで右辺がベクトルという状況になります) この場合の単位法線ベクトルはk↑そのものなので、#1の計算結果とk↑との内積をとればよいのです。
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- spring135
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ベクトル解析もちゃんとやろうね。 x,y,z方向の単位ベクトルをi↑,j↑,k↑とすると ベクトルA↑=Axi↑+Ayj↑+Azk↑の回転rotA↑はベクトルであって次式で与えられる。 これはどんな教科書にも載っている。 rotA↑=(∂Az/∂y－∂Ay/∂z)i↑+(∂Ax/∂z－∂Az/∂x)j↑+(∂Ay/∂x－∂Ax/∂y)k↑ 問題のようなx,y平面のベクトルについてはAz=0, ∂/∂z＝0である。したがって rotA↑=(∂Ay/∂x－∂Ax/∂y)k↑ （1） つまりxy平面に垂直な方向（ｚ方向) の成分だけとなる。 さて、ストークスの定理によりベクトルv(x)↑の周回積分 ∫[C]v(x)・dx↑=∫[D]rot{v(x)}dS (2) DはCの囲む領域であって、dSはその微小面積を表す。 1)ｖ(ｘ)↑＝（3ｘ＋5ｙ 2ｘ＋4ｙ） 式(1)より rotv↑=(∂vy/∂x－∂vx/∂y)k↑=(2-5)k↑=-3k↑=定ベクトル 式(2)に代入 I=∫[C]v(x)・dx↑=∫[D]rot{v(x)}dS=-3k↑∫[D]dS ∫[D]dSはDの面積に他ならない＝π1^2=π ゆえに I=-3πk↑ k↑を書かないことにすると答えに一致 (2)ｖ(ｘ)＝（2ｘ－4ｙ 3ｘ－5ｙ） 式(1)より rotv↑=(∂vy/∂x－∂vx/∂y)k↑=(3-(-4))k↑=7k↑=定ベクトル 式(2)に代入 I=∫[C]v(x)・dx↑=∫[D]rot{v(x)}dS=7k↑∫[D]dS=7πk↑ (3)ｖ(ｘ)＝（ｘ－4ｙ 2ｘ－5ｙ） -実際は縦２行- の答えは「6Π(パイ）」 式(1)より rotv↑=(∂vy/∂x－∂vx/∂y)k↑=(2-(-4))k↑=6k↑=定ベクトル 式(2)に代入 I=∫[C]v(x)・dx↑=∫[D]rot{v(x)}dS=6k↑∫[D]dS=6πk↑
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