基底を求める問題です

質問

V={x∈Ｒlx>0}のとき、
x,y∈V、a∈Rに対して
和：x・y=xy
スカラー倍：x^a=xのa乗
と定めるとVはRをスカラーとするベクトル空間になる。
このときdimVを求めよ。

という問題がわかりません。
和とスカラー倍の取り方に依ってdimは変わるのでしょうか？
ヒントください

回答No.4

koyadi · ベストアンサー

NO3です。

＞ある{xlx∈V}がV上の基底であることを示します。

ですが{xlx∈V,x≠1}が抜けていました。すみません。
0ベクトルは生成系にも一次独立系にもなりません。

お礼

ありがとうございます！
零元というのは、どんなときでも整数0と勘違いしていました。
勉強になりました

回答No.3

koyadi

dimは基底の個数でベクトル空間Vに対して基底の取り方は複数あるが個数(=dim)は唯一に決まることが示されています(ツオルンの補題を使う)。

この場合のVがベクトル空間だという証明は出来ていますでしょうか？
V上の加法における0元と逆元がもしかしたら勘違いされている気がしました。

この場合は1∈Vが0元になります(1・x=xより)
またx∈Vに対して1/x∈Vが加法における逆元です(1/x・x=1より)

基底の定義は一時独立系かつ生成系であるので、ある個数のベクトル空間の要素を持ってきて示せばよいはず。

ある{xlx∈V}がV上の基底であることを示します。

(1)生成系　任意のY∈Vに対してa∈Rをa=logxYととる。
　　　　　Y=x^aよりxは生成系
(2)一時独立系　a∈Rかつx^a=1　⇔　a=0

以上から{x}はV上の基底よりdimV=1です。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93

回答No.2

Tacosan

大まかにはそうなんだけど, 右辺の「0」はどこから出てきたんでしょうか?
問題に「ベクトル空間になる」って書かれているから疑っていないのかもしれないけど, そもそもこれがベクトル空間であることはきちんと示せますか?
ちなみに答えは dim V = 1.

補足

ベクトル空間であることは、結合則、分配則、零元などを示して確認できました。

右辺＝0ならばλ1＝・・・＝λnの時v1,・・・,vnは一次独立という定義から、0が出てきたんですが、、なんか自分は根本的な勘違いしてるのかもしれないです・・・

回答No.1

Tacosan

どこが分からないのでしょうか? 定義に従って基底を求めるだけです.

補足

通常の和とスカラーならばdimV=1だと思うんですが、この一次独立を求めるのは(v1^λ1)×・・・×(vn^λn)＝0から求めるのですか？