定義に従った微分の問題です。

質問

任意の実数xに対して微分可能な関数f(x)がf(2x)=2f(x)をみたすとき、f'(2x)=f'(x)であることを示せという問題が答えが乗っていなくてわからないので解くヒントを教えて下さい。お願いします。

回答No.1

mnakauye · ベストアンサー

こんにちは。

　　f'(2x)は微分の定義から、

　　　f'(2)=lim{f(2x+h)-f(2x）]/h (h-->0)

ですね。ここで

　　　条件　f(2x)=2f(x)　を使えるように、

　　関数の変数を　２　でくくれるようにすれば良いのです。

　　分子の第二項は問題なく条件を使えますから

　　第一項の　2x+h　を　２ｘ＋２ｋ　つまり　ｈ＝２ｋ　とおきます。

　　ｈ－－－＞０　のとき　ｋ－－－＞０　になるので、

　　　f'(2)=lim　{f(2x+h)-f(2x）]/h (h-->0)

　　　　　　=lim　{f(2x+2ｋ)-f(2x）]/２ｋ (ｋ-->0)

　　　条件から　２がくくりだせて

　　　　　分母分子約分できますから

　　　　　=lim　{f(x+ｋ)-f(x）]/ｋ (ｋ-->0)

　　となり、定義から

　　　＝f'(x)

　　ですね。

　　定義をしっかり書いて、そこから条件をどう使うかを考えると

　　解き方がわかっていきます。

　　まずいろいろ書いてみましょう。

補足

回答ありがとうございます！
自分ではどうすればいいのか方針が全くわからなかった
のですが少しは自分でできそうなことをやってみようと思いました。

質問なのですが、こういうときに2はくくりだしていいのですか？？

回答No.3

mnakauye

こんにちは。

　補足の回答です。

>回答ありがとうございます！
>自分ではどうすればいいのか方針が全くわからなかった
>のですが少しは自分でできそうなことをやってみようと思いました。
>
>質問なのですが、こういうときに2はくくりだしていいのですか？？

　　f(2x+2k)=f(2[x+k]）ですから、

　　条件で与えられた関数　ｆ　の性質から

　　　＝2f(x+k)ですね。

　　　分子は第一項、第二項が２でくくれて・・・・・（これは普通の因数分解）

　　　　分子＝２[f(x+k)-f(x)]ですよね。

　　　　そこで分子分母が約分できて・・・

　　　　となるわけです。

　　　　　できるのは与えられた条件からですよね。

　　そうでなければできません。

お礼

回答ありがとうございます！

その条件をすっかり忘れていました……。
わざわざ説明していただきありがとうございます。

回答No.2

alice_44

導関数の定義まで戻って考えてもいいけれど、
合成関数の微分 (d/dx) f(g(x)) = f'(g(x))・g'(x)
を使う手もある。g(x) = 2x に適用すると、
(d/dx) f(2x) = f'(2x)・2。

f(2x) = 2f(x) の両辺を微分すると、
2f'(2x) = 2f'(x) となって f'(2x) = f'(x) が従う。

お礼

回答ありがとうございます！
いろいろな解き方があるんですね。
合成関数というのはまだ習っていないので、
今度習ったときに思い出したいと思います。