不等式

質問

実数ｘが-1＜ｘ＜１、x≠0のとき（1-x）^(1-1/x)＜（1+x）^1/xを示せ

という問題です。

自分はこう解きました

両辺対数をとって-(1-x)log(1-x)＜(1+x)log(1+x)

0＜log(1+x)(1-x)^(1-x)
1＜(1+x)(1-x)^(1-x)
これを示せばよい

しかしここでいきづまり、GRAPESでグラフを書いてみたところ、不等式が成立しません。

式変形は間違えないと思いますが、どこがいけないのでしょうか。

よろしくお願いします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

No.2です。

ANo.2　の補足の証明について

>0<x<1のときは両辺にxを掛けて
>　-(1-x)log(1-x)＜log(1+x)
この式から下の式にはなりません。

>　０＜（1-x）(1+x)^(1-x) ...(★)

0=ln(1)＜ln(1+x)+(1-x)log(1-x)=log{(1+x)(1-x)^(1-x)}
⇒ 1＜(1+x)(1-x)^(1-x)
　f(x)=(1+x)(1-x)^(1-x)-1>0 (0<x<1)
これを示すには
　lim[x→0+] f(x)=0, lim[x→1-] f(x)=1
f'(x)>0 (0<x<1)
を示すこと。

>0<x<1より（1-x）＞0、(1+x）＞0より成立。
(★)の式の導出ミスなので無意味。

>-1<x<0のとき
>　-(1-x)log(1-x)＞log(1+x)
>　(1-x)^(1-(1/x))＜(1+x)^(1/x)
この式から下の式は導出できません。

>　0＞（1-x）(1+x)^(1-x)
導出できない式を使っての証明は無意味。

>-1<x<0より（1-x）＞0、(1+x）＜0よって成立
>以上より、与不等式は成立する。

補足

f(x)=(1+x)(1-x)^(1-x)-1>0 (0<x<1)
これを示すのにlim[x→0+] f(x)=0,f'(x)>0 (0<x<1)を示すだけで十分では？なぜ lim[x→1-] f(x)=1がいるのでしょうか？

回答No.2

info22_

>両辺対数をとって-(1-x)log(1-x)＜(1+x)log(1+x)

両辺の自然対数をとると

　(1-(1/x))ln(1-x)＜(1/x)ln(1+x)

0<x<1のときは両辺にxを掛けて

　-(1-x)log(1-x)＜log(1+x)

となり
-1<x<0のときは両辺にx(<0)を掛けると不等号の向きが逆になって

　-(1-x)log(1-x)＞log(1+x)

いずれの場合も質問者さんがお書きの「-(1-x)log(1-x)＜(1+x)log(1+x)」
にはなりませんね。

　(1-x)^(1-(1/x))＜(1+x)^(1/x)

両辺正なので 「-1<x<0」と「0<x<1」の場合に分けて考えるといいでしょう。

0<x<1のときは
両辺をx乗し
　(1-x)^(x-1)＜(1+x)
1-x(>0)を掛けた
　(1-x)^x＜1-x^2
xln(1-x)＜ln(1-x^2)
を示せばいいでしょう。

-1<x<0のときは
両辺をx乗し
　(1-x)^(x-1)＞(1+x)
1-x(>0)を掛けた
　(1-x)^x＞1-x^2
　xlog(1-x)＞ln(1-x^2)
を示せばいいでしょう。

お礼

ｌｎはlogの自然対数のときの記号だったんですね。全体的な証明ですが、以下でよろしいでしょうか。お願いします。

（1-x）^(1-1/x)＜（1+x）^1/x
両辺の自然対数をとると

　(1-(1/x))ln(1-x)＜(1/x)ln(1+x)

0<x<1のときは両辺にxを掛けて

　-(1-x)log(1-x)＜log(1+x)

　０＜（1-x）(1+x)^(1-x)

0<x<1より（1-x）＞0、(1+x）＞0より成立。

となり
-1<x<0のとき

　-(1-x)log(1-x)＞log(1+x)

　(1-x)^(1-(1/x))＜(1+x)^(1/x)

　0＞（1-x）(1+x)^(1-x)

-1<x<0より（1-x）＞0、(1+x）＜0よって成立

以上より、与不等式は成立する

補足

lnってなんですか？

すみません

回答No.1

ktdg

（1-x）^(1-1/x)＜（1+x）^1/x
の対数をとっても
-(1-x)log(1-x)＜(1+x)log(1+x)
にはなりません。
問題文は正確に入力しましょう。

補足

問題文は正確に入力しています

おそらく私の式変形が間違っているのだと思います