対数の方程式

質問

２×ｌｏｇ（底が２）ｘ＝１というｘの方程式を解きたいとき
ｌｏｇ（底が２）（ｘの２乗）＝１としてｘの２乗＝２だからｘ＝±√２
真数条件からｘ＝－√２とはならずにｘ＝√２だけが解になるという推論は正しいのでしょうか？
２を対数の中に入れた時に条件が弱くなったからｘ＝±√２はたんに解の候補にすぎなくて、それらが解かどうか確かめないといけないのではないでしょうか？真数条件をつかったとしてもｘ＝√２が本当に解かどうかわからないのではないでしょうか？
もちろんｌｏｇ（底が２）ｘ＝１／２としてｘ＝２の１／２乗とすればこの話は回避できるんですがそれはそれとして。

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

2log(2)x=1　　（1）

この時、高校の数学では無条件にx>0です。

(1)は

log(2)x=1/2

であって、左辺はxを2^yと書いた時、yにあたるは何かということであって

log(2)(2^y)=y=1/2

つまりyは1/2、x=2^y=2^(1/2)=√2

ということです。

お礼

はい、それについてはOKです。
方程式を解きたいのではなくて、推論の正しさについて伺っています。

補足

質問の仕方がよくなかったかもしれませんが、本来この方程式はご回答の後半に示したように解くべきであってｌｏｇの中に２を入れて真数を２乗にするやり方がよくないのではないかと考えています。元の方程式に少なくとも一つ解があることがもしわかっていれば、候補が一つに絞られた段階でそれが解と言ってもいいんですが、真数条件という一言でいいんだろうかという疑問です。

回答No.5

asuncion

なんかむずかしく考えすぎのようで。

回答No.4

bgm38489

>>その場合、解があるとしたら√２しかないわけですが、実際にｘ＝√２が解であることはどうしてわかるのでしょうか？もちろん元の式に代入しないでです。

ｘ－３＝０のとき、解があるとしたら３しかないわけですが、実際にｘ＝３が解であることはどうしてわかるのでしょうか？もちろん元の式に代入しないでです。

これと同じことでは？

ｘ＾２＝２の時、右辺＝（±√２）＾２だから、ｘ＝±√2、ということは分かりますね？2乗して２になる数、±√２以外にあるのでしょうかねぇ。

補足

二次式にはせいぜい２つしか解がないことを回答者さんの例では使っています。
質問の式の場合は解があるかどうか今の時点ではわかりません。解がひとつしかないことを知っていれば√２という唯一の候補が解になると言っていいですが、解があるかどうかすらわからないなら√２が解といえないと思います。解があるかどうか実際はすぐわかるんですがｌｏｇの前の２を中に入れるというやりかたではそれを言えないと思います。仮にｘが０以外の複素数をとってもいいとしてもー√２は解になりませんから真数条件は関係ないと思います。繰り返しますが質問の方程式の解き方を尋ねているのではありません。

回答No.3

asuncion

＞真数条件をつかったとしてもｘ＝√２が本当に解かどうかわからないのではないでしょうか？

そんなことはない。

補足

それはなぜでしょう？

回答No.1

bgm38489

X=±√２は単なる候補、真数条件よりｘ＞０、すなわちX=√２のみに限られる、という考えでよろしいのでは？、
例えば、正方形の面積は、一辺の長さの2乗。面積２平方センチのときの一辺の長さLは、となると、
L^2=2、L=±√２、L>0より、L=√２でよい。

補足

その場合、解があるとしたら√２しかないわけですが、実際にｘ＝√２が解であることはどうしてわかるのでしょうか？もちろん元の式に代入しないでです。