対数で真数条件と底条件での累乗をどちらに乗せるか

質問

logA(2x-4)^2＜2logA(x+1)　という問題ですが、Ａは底のつもりです

このとき、真数条件は　(2x-4)^2＞0 かつ (x+1)＞0

Ａ＞1　と　0＜Ａ＜1　のときの底によるばあいわけのときには
(2x-4)^2＞ (x+1)^2 と　(2x-4)^2＜(x+1)^2　による比較となるようなのですが、

真数条件のときは、２乗を問題の状態で比較しなければならないのと、
ばあいわけのときは、両方とも２乗を真数に掛けなければならないという違いがわかりません。

真数条件のときは累乗を両方とも外に出したり、あるいは両方とも数に掛けたり、どちらにしてもならないのはどうしてでしょうか？
また、ばあいわけのときは、両方とも累乗を外に出してはいけないのはどうしてでしょうか？

初心者にわかりやすくお教えくださいますようお願いします。

回答No.1

178-tall · ベストアンサー

>対数で真数条件と底条件での累乗をどちらに乗せるか　logA(2x-4)^2＜2logA(x+1)　という問題ですが、Ａは底のつもりです
>このとき、真数条件は　(2x-4)^2＞0 かつ (x+1)＞0
>Ａ＞1　と　0＜Ａ＜1　のときの底によるばあいわけのときには　(2x-4)^2＞ (x+1)^2 と　(2x-4)^2＜(x+1)^2　による比較となるようなのですが、

ごもっとも。
複素数勘定ができないか、あるいは禁じ手にされると、A < 0 ではほとんどの A^x は勘定不能です。
x が有理数 p/q なら勘定できそうな気もしますが、p, q の偶奇により A^x の正負や勘定可否がヒョコヒョコ変転しまいそうです。

>真数条件のときは、２乗を問題の状態で比較しなければならないのと、ばあいわけのときは、両方とも２乗を真数に掛けなければならないという違いがわかりません。
>真数条件のときは累乗を両方とも外に出したり、あるいは両方とも数に掛けたり、どちらにしてもならないのはどうしてでしょうか？
>また、ばあいわけのときは、両方とも累乗を外に出してはいけないのはどうしてでしょうか？

確かに、累乗を出入りさせるたびに log(　) の中身の正負を気にせねばならない。
いずれも、「実対数関数」の宿命みたいですネ。

複素数勘定なら「ばあいわけ」などに気を使わずとも済みそうな気がします。
でも…テストなどで「ばあいわけ」などせず、複素数域で解いてみせたら、どんな結末になるのでしょうか？

お礼

事情がよくわかりました
くわしくご説明いただきましてありがとうございました