対数の問題です

質問

対数の問題です
log[a](x)-3log[x](a)>2
(x,yは真数条件かつ底なのでx>0,a>0,a>≠1,x≠1)
底をaに揃えると
log[a](x)-3/log[a](x)>2
⇔{log[a](x)+1}{log[a](x)-3}/log[a](x)>0
ここまでは良いのですが、この先の場合わけの解説がよくわかりませんでし答えは
0<a<1のとき1<x<1/a,0<x<a^3
a>1のとき、1/a<x<1,a^3<x
でした
できるかぎり詳しくご教授頂けると幸いです

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

X=log[a](x)とおくと条件式は

X-3/X>2

場合分けをしながらXをかけてといてもよいがここは強引にX^2>0をかけて

X^3-2X>3X^2

X(X-3)(X+1)>0　　(1)

y=X(X-3)(X+1)のグラフを描けば分かるように(1)を満たすのは

-1＜X<0またはX>3　　(2)

これをX=log[a](x)を用いてxに換算してやればよい。

もっとも単純明快なのは横軸にx,縦軸にXをとって対数関数のグラフを書いて縦軸の値が(2)となる範囲を見つける。

ポイントはa<1とa>1でX=log[a](x)のグラフは単調増加から単調減少へ激変すること、aの値によらずx=1でX=0を通ること。

a>1のときはX=log[a](x)のグラフは単調増加関数、(2)は1/a<x<1,x>a^3となるのは一目瞭然。

0<a<1のときはX=log[a](x)のグラフは単調減少関数。(2)は0<x<a^3,1<x<1/aも一目瞭然。

お礼

ありがとうございました！

回答No.1

alice_44

底をそろえた後、二次不等式を解けば、
log[a]x の値の範囲が判りますね。

a＞1 のとき、log[a]x は x について単調増加、
0＜a＜1 のとき、log[a]x は x について単調減少
なので、場合分けすれば、log[a]x の範囲を
x の範囲に翻訳できます。

補足

考えてみたのですがやっぱりよくわかりませんでした
馬鹿で申し訳ないです
解答に書いてあってわからないところは
・{log[a](x)+1}{log[a](x)-3}/log[a](x)>0 のあとに数直線{x軸はlog[a](x)}で±の分布を書いているが～-1が-、-1～0の値が+、0～3の値が-、3～が+となっているのですがなぜそのような分布になるのかがわからない(普通に代入でいいのでしょうか)

・そのあと、-1<log[a](x)<0,3<log[a](x)
またlog[a](1/a)<log[a](x)<log[a](1)
⇔log[a]a^3<log[a](x)となるがそれをとる意味がよくわからない

です。
本当に長くてすみませんが差し支えなければご教授宜しくお願いします