対数！？

質問

aは定数とするとき
y=4^x+4^(-x)-a{2^x+2^(-x)}+10

これのa=6の時y≦0を満たすxの範囲は
log[2](A-√B)≦x≦log[2](C+√D)・・・[2]は底

これを考えるときに、2^x+2^(-x)=tとおいて計算すると
y=(t-2)(t-4)≦0
2≦t≦4（１）この範囲になると思うんですが、

解説には
t≧2であるから、　t≦4（２）

よって2^x+2^(-x)≦4・・・・計算して答えになっています。

なぜ、（２）だけ計算して答えを出しているんですか？
なぜ、（１）の答えは無視して答えを出しているんですか？
よかったら教えて下さい。

ちなみに、答えは(A,B,C,D)=(2,3,2,3,)

回答No.3

endlessriver · ベストアンサー

(t-2)(t-4)≦0の関係は
１．(t-2)≦0かつ(t-4)≧0
２．(t-2)≧0かつ(t-4)≦0
のいずれかの場合に成り立ちますが
t=2^x+2^(-x)={2^(x/2) - 2^(-x/2)}^2 + 2≧2
だから　(t-2)≧0　がすでに確定しているのです（あらゆるxについて成り立つ）。
すなわち、２の場合しか条件はありません。

すると、繰り返しますが t≧2 の条件はどんなxについても既に成り立っているので考慮する必要が無いのです。

さらにねんを押すと、条件式が２つあって、その1つが　x^2≧0　などと言う式であれば、これはすべてのxについて成り立っているのでxの範囲を定める条件として考慮する必要はなく、もう一方のみ考えればよいのです。

お礼

あ～～なるほど。
回答ありがとうございました。

回答No.2

eatern27

＞なぜ、（２）だけ計算して答えを出しているんですか？
＞なぜ、（１）の答えは無視して答えを出しているんですか？

(1)を無視しているわけではありません。こういう流れだと思います。

＞2≦t≦4（１）
と求まった。

＞t≧2であるから、
なぜなら、t=2^x+2^(-x)≧2 (相加相乗平均)が任意のxで成り立つから。

つまり、(1)のうち、2≦tという条件は、必ず成り立つ。だから、

＞t≦4（２）
つまり、t≦4という条件だけを考慮すればよい。

もちろん、2≦t≦4つまり、2≦2^x+2^(-x)≦4を計算(変形?)していっても、同じ答えが得られるはずです。
気になるのであれば、実際にやってみるといいかもしれません。

お礼

よ～～くわかりました。ありがとうございました。

回答No.1

mirage70

2^x+2^(-x)=tとおいたときに、xが実数であれば、2^x>0,2^(-x)>0より相加平均>=相乗平均より常にt>=2
後は答えなくともできますね。

お礼

回答ありがとうございましたー。