対数の問題で質問があります。

質問

対数に関する問題です。解答を見てわからなかったことがあるので質問です。
解説をお願いします。

1≦x≦3において、f(x)＝log a 12/x　の最小値を　m(a)とするとき次の問いに答えなさい。
(1)m(a)を求めよ。
(2)【(2)は次回にします。】

＜解答＞
1≦x≦3において、4≦12/x≦12　・・・(1)
だから　f(x)＝log a 12/x　の値は
(i)0＜a＜1のとき
　　(1)より、12/x　＝12　のとき最小値をとる。
　　つまりx=1が最小化条件で、m(a)＝log a 12
（ii）a＞1のとき
　　(1)より、12/x　＝4　のとき最小値をとる。
　　つまりx=3が最小化条件で、m(a)＝log a 4 　　　
よって
m(a)＝log a 12 　0＜a＜1のとき
m(a)＝log a 4 　　a＞1のとき

と書いてありました。
質問が3点あります。
1つ目、「1≦x≦3において、4≦12/x≦12　・・・(1)」と書いてありますが、どのようにして、、4≦12/x≦12　の範囲が出てきたのでしょうか？
2つ目　底の値によって場合分けすると思いますが、「(i)0＜a＜1のとき　(1)より、12/x　＝12　のとき最小値をとる。」と書いてありますが、なぜでしょうか？「（ii）a＞1のとき　(1)より、12/x　＝4　のとき最小値をとる。」もなぜでしょうか？12/x　＝12、12/x　＝4はどうして出てくるのでしょうか？
3つめ　x=1、3が最小化条件でそれぞれm(a)を算出していますが最小値はx軸との交点を調べればいいのですか？マイナスがあり最小でないような感じがします。
解説よろしくお願いします。

回答No.2

asuncion

1つ目
1 ≦ x ≦ 3
全体の逆数をとる。
1/3 ≦ 1/x ≦ 1
全体を12倍する。
4 ≦ 12/x ≦ 12

回答No.1

gohtraw

ｘは正なので、
12/xが最小になるのはｘが最大のとき、つまりｘ＝３のとき、
12/xが最大になるのはｘが最小のとき、つまりｘ＝１のとき
ということです。

ｌｏｇ　a　１２／ｘ　というのは、ａ＾ｐ＝１２／ｘ　・・・（１）
になるようなｐの値ということです。
ａ^p　（ａのｐ乗）を考えてみます。
0<a<1のとき、　ｐが大きいほどａ＾ｐは小さくなります。つまり、
（１）において１２／ｘが小さいほどｐは大きいということです。
逆に１２／ｘが大きいほどｐは小さいということです。

ａ＞１のとき、ｐが大きいほどａ＾ｐは大きくなります。つまり、
（１）において１２／ｘが大きいほどｐは大きく、１２／ｘが小さいほど
ｐは小さいということです。