コーシー・シュワルツの不等式の証明について

質問

コーシー・シュワルツの不等式の証明について
二次不等式を使った証明なのですが、場合分けをする理由がよくわかりません。
どなたかご教示お願いします。

問．tがどんな実数値を取っても常に（at-x)^2+(bt-y)^2≥0であることを用いて、次の不等式を証明せよ。
   （a^2+b^2)(x^2+y^2)≥(ax+by)^2

これを証明するには、
（at-x)^2+(bt-y)^2≥0の左辺をtについて整理して
(a^2＋b^2)t^2-2(ax+by)t+x^2+y^2≥0
したがってtの2時不等式が得られるので、（左辺）≥0となる条件から
D/4＝（ax+by）^2-(a^2+b^2)(x^2+y^2)≤0
移行して (a^2+b^2)(x^2+y^2)≥(ax+by)^2

と、ここまでは導けたのですが、解答では
（i）a^2+b^≠0 すなわち a^2+b^2>0のとき
（ii）a^2+b^2=0 すなわち a=b=0のとき
と場合分けをして、どちらも成り立つことを証明しています。

この二次不等式が0以上であるためには判別式D≦0とともにa^2+b^2>0（下に凸）という条件が入ってくるのだと思いますが、それならば（ii）はいらないのではないでしょうか。2つの場合が成り立たなければならない理由はなんでしょうか。
よろしくお願いいたします。

回答No.4

jcpmutura

(a^2＋b^2)t^2-2(ax+by)t+x^2+y^2≧0
「したがってtの2次不等式が得られる…」が誤りで
a^2+b^2≠0の時tの2次不等式が得られる
a^2+b^2=0の時tの(定数)0次不等式x^2+y^2≧0が得られる
「
この二次
不等式が0以上であるためには
判別式D≦0とともにa^2+b^2>0（下に凸）という条件が入ってくる
」が誤りで
a^2+b^2≠0の時
この不等式はa^2+b^2>0（下に凸）のtの2次不等式となって
このtの2次不等式が0以上であるためには判別式D≦0が条件となる
a^2+b^2=0の時
この不等式はtの(定数)0次(恒)不等式x^2+y^2≧0となる
この場合tの値に関係無く常に不等式が0以上
(a^2＋b^2)t^2-2(ax+by)t+x^2+y^2≧0
が成り立つから
「
(a^2＋b^2)t^2-2(ax+by)t+x^2+y^2≧0
が成り立つためには
a^2+b^2>0でなければならない
」というのは偽で誤りだから
「
(ii)（a^2+b^2=0 すなわち a=b=0のとき）はいらない
」が誤りで
問で不等式
(a^2+b^2)(x^2+y^2)≧(ax+by)^2
を証明せよ。と書いてあり
問題のどこにもa^2+b^2≠0と書いていない以上
(ii)a^2+b^2=0 すなわち a=b=0のときも
(a^2+b^2)(x^2+y^2)≧(ax+by)^2
を証明しなければならない

回答No.3

jcpmutura

(at-x)^2+(bt-y)^2≧0の左辺をtについて整理して
(a^2＋b^2)t^2-2(ax+by)t+x^2+y^2≧0
↓両辺にa^2+b^2≧0をかけると
{(a^2＋b^2)t}^2-2(a^2+b^2)(ax+by)t+(a^2+b^2)(x^2+y^2)≧0
{(a^2+b^2)t-(ax+by)}^2+(a^2+b^2)(x^2+y^2)-(ax+by)^2≧0
両辺に(ax+by)^2≧0を加えると
{(a^2+b^2)t-(ax+by)}^2+(a^2+b^2)(x^2+y^2)≧(ax+by)^2…(1)
(i)
a^2+b^2≠0すなわちa^2+b^2>0の時
t=(ax+by)/(a^2+b^2)を(1)へ代入すると
(a^2+b^2)(x^2+y^2)≧(ax+by)^2
(ii)
a^2+b^2=0すなわちa=b=0の時
(a^2+b^2)t-(ax+by)=0だから(1)から
(a^2+b^2)(x^2+y^2)≧(ax+by)^2

回答No.2

jcpmutura

(at-x)^2+(bt-y)^2≧0の左辺をtについて整理して
(a^2＋b^2)t^2-2(ax+by)t+x^2+y^2≧0…(1)
(i)
a^2+b^2≠0すなわちa^2+b^2>0の時
(1)はtの2次不等式なので、(左辺)≧0となる条件から
D/4=(ax+by)^2-(a^2+b^2)(x^2+y^2)≦0
移行して
(a^2+b^2)(x^2+y^2)≧(ax+by)^2
(ii)
a^2+b^2=0すなわちa=b=0の時
(1)は
x^2+y^2≧0
だから
(a^2+b^2)(x^2+y^2)=0≧0=(ax+by)^2

2つの場合が成り立たなければならない理由は
問で
a^2+b^2=0すなわちa=b=0の時
(a^2+b^2)(x^2+y^2)≧(ax+by)^2
を証明しなくてもよいとは言っていないから
a^2+b^2=0すなわちa=b=0の時
(a^2+b^2)(x^2+y^2)≧(ax+by)^2
を証明しなければならない

回答No.1

jcpmutura

a^2+b^2≠0すなわちa^2+b^2>0の時
は
(a^2+b^2)t^2-2(ax+by)t+x^2+y^2≧0
は
tの2次不等式だけれども

a^2+b^2=0すなわちa=b=0の時
は
(a^2+b^2)t^2-2(ax+by)t+x^2+y^2≧0
は
x^2+y^2≧0
は
tの2次不等式ではありません
従って判別式は使えません