不等式の証明

質問

不等式の証明

今私はいろいろな不等式についてまとめを作っているのですが、証明の仕方がわからないものと例題が見つからないものあるのです。
よかったら教えていただけないでしょうか？
証明の仕方については、下の例のように方針も書いてくれるとありがたいです。
教えていただきたいものをはいくつかあるのですが、１つだけでも知っているものがあればお願いします

無いとは思いますが、私は高校３年生なので、大学に入ってからじゃないと習わないものなどはなるべく避けてほしいです

(例)
□□をしたいのでまず〇〇を考える
次に～～

では教えていただきたいものを書きます。

１：「ａ＜ｂ，ｘ＜ｙ」のとき「ａｘ＋ｂｙ＞ａｙ＋ｂｘ」

２：１の３文字ずつバージョンなのですが、私の使っている参考書や問題集に載っていなかったので証明してほしい式すら書けません。ごめんなさい。

３：f(x)が下に凸のとき、{f(a)＋(b)}/2≧f{(a)＋(b)/2}の例題

回答No.2

gohtraw · ベストアンサー

１だけ。
証明したい式を変形（移項）して
ｂ（ｙ－ｘ）－ａ（ｙ－ｘ）＝（ｂ－ａ）（ｙ－ｘ）＞０
であることを証明すればいいわけですが、題意よりカッコの中はいずれも正なのでその積も正になります。

お礼

証明ありがとうございます。
助かります

回答No.3

Tacosan

3: 「f(x) が下に凸」は, どのように定義されているのですか?

補足

Jensenの定理というものなのですが、私が持っている「大学への数学」には、「f(x)が下に凸のとき」としか書いていないので、たぶんですけど下に凸になっている部分があるなら、その部分では絶対成立する不等式ということだと思うのですが…中途半端な知識で申し訳ないです。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

質問したいといわれている内容がいろいろなので、どう答えればいいのか・・・
とりあえず、１だけ

不等式を証明するには、(左辺)と(右辺)の差がどうなるかを示せればいいですよね。
ともに正などの条件があれば、「2乗して差をとる」や「比を考える」といった方法もあります。

そこで差をとります。
あと、a＜ bなどの条件も変形しておきます。
不等式は各辺が正であるか、負であるかが大事なポイントですから、
条件もそれがわかるように変形しておきます。

差はちょっと整理すれば、正負がわかる形になりますね。

お礼

あ…！
そんな初歩的なことを忘れてたなんて…
ありがとうございます