高校数学 式の証明

このQ&Aのポイント
  • 高校数学の式の証明について質問があります。具体的には、問題1の不等式の証明方法と、問題2の式の証明方法について知りたいです。
  • 問題1では、不等式|a+b|<1+abを証明したいです。試しに左辺を展開してみましたが、どう整理すればいいのかわかりません。
  • 問題2では、不等式a^2/x + b^2/y + c^2/z ≧ (a+b+c)^2/(x+y+z)を証明したいです。具体的な証明方法を教えていただけると助かります。
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  • ベストアンサー

高校数学 式の証明

いつもお世話になります。 式の証明で、またわからない問題の壁にぶつかっております、 ご解説をお願いできたらと思います。 ※ご回答を下さるのは大変有り難いのですが、 「あとはどうなるか、わかりますね」等と以降の解説を 省略されてしまうと結局私も最後までわからず解決に困ることが有ります。 できたら上記のような略はしないで頂けると助かります。 (基礎計算は大方大丈夫なのですが、「基礎」と一括りに言ってもわかり辛いでしょうか;) 問題1,|a|<1, |b|<1、 1+ab>0 のとき、次の不等式を証明せよ。 |a+b|<1+ab  やってみたこと 左辺2乗ー右辺2乗をして、展開し、 a^2+b^2-(ab)^2-1-2ab+2|ab| まではできましたが、詰まりました。 どう整理したら、この式<0 となるのでしょうか。 問題2、 x>0 Y>0 z>0のとき a^2/x +b^2/y +c^2/z ≧ (a+b+c)^2/(x+y+z) を証明せよ。 式が読み取りにくいかと思い画像添付しました。画像(2)の問題の方です。 サイズ制限があるため、細かくて申し訳ないです。 累乗はすべて2乗です。 よろしくお願いします。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
回答No.3

問題1 0≦|a+b|<1+ab より両辺を2乗しても同値。 左辺^2-右辺^2=(1+ab)^2-(a+b)^2=(1+ab+a+b)*(1+ab-a-b)=(a+1)*(a-1)*(b+1)*(b-1) |a|<1、 |b|<1から 左辺^2-右辺^2>0 → 左辺-右辺>0 問題2 分母>0 から払と、(x+y+z)*(a^2/x+b^2/y+c^2/z)≧(a+b+c)^2 ‥‥ (1)を示すと良い。 √x=α、√y=、√z=γ とすると、(α^2+β^2+γ^2)*(a^2/α^2+b^2/β^2+c^2/γ^2)≧(a+b+c)^2  シュワルツの不等式から、(m^2+n^2+k^2)*(x^2+y^2+z^2)≧(mx+ny+kz)^2 ‥‥(2) が成立する。 (2)で m=a、n=b、k=c、x=a/α、y=b/β、z=c/γ とすると良い。等号成立は? (注)シュワルツの不等式がわからなければ、検索すると良い。 シュワルツの不等式は、もはや入試では常識だろう。

sayjuly
質問者

お礼

お返事遅くなりました。ごめんなさい。 納得が行きました。ありがとうございます。 シュワルツの不等式、調べて覚えました。 入試を受ける予定は有りませんが、知っていると確かに便利ですね!問題を見返していると、 該当しそうなものが数問ありました。ありがとうございます。

その他の回答 (3)

回答No.4

書き込みミス。。。。。w >(2)で m=a、n=b、k=c、x=a/α、y=b/β、z=c/γ とすると良い (2)で m=α、n=β、k=γ、x=a/α、y=b/β、z=c/γ とすると良い に訂正。

  • naniwacchi
  • ベストアンサー率47% (942/1970)
回答No.2

#1です。 >問題2は、解説文の中の「(1)を利用し」のところから分かりません。 >代入して通分、計算した結果なのでしょうか? >私もやってみたのですが三乗がでてきていつまでも残ってしまい質問した次第です。 3乗が出てきますか・・・ ・まず、(1)で証明した式の両辺に c^2/zを加えてみてください。 このときの不等式の右辺が、証明したい不等式の右辺以上であれば大小関係が証明できます。 ・そこで、a+ b= P、x+ y= Qととでも一度置いてみます。 これは、(1)で示した不等式の文字が変わっているだけです。 ところで、問題1の方はわかりましたか?

sayjuly
質問者

お礼

>3乗 計算ミスでした。すみません。 >まず、(1)で証明した式の両辺に c^2/zを加えてみてください。 置き換えたら無事解けました!ありがとうございます。 問題1は自力でできました。 こちらも計算ミスをしていたのか、 一晩置いてもう一度挑戦したらあっさり解けてしまいました。

  • naniwacchi
  • ベストアンサー率47% (942/1970)
回答No.1

こんばんわ。 【問題1】 >左辺2乗ー右辺2乗をして、展開し、 >a^2+b^2-(ab)^2-1-2ab+2|ab| まではできましたが、詰まりました。 絶対値の記号を外すために、2乗していると思うのですが。 |a+b|^2= |a|^2+ 2|ab|+ |b|^2ではないですよ。 この手の証明の場合は、差が「正」になる形を考えた方がわかりやすいと思います。 (マイナスの記号が出てくるのは何かと面倒なのと、間違いをおこしやすいので) いまの問題であれば、(右辺)^2- (左辺)^2> 0を示すことを考えてみてください。 【問題2】 こちらは、答え(解法)がそのまま添付の中に書かれているのですが・・・ どこがわからないのでしょうか? a+bを P、x+yを Qとでも一度置き換えて、(1)を使うことを考えているだけです。 >省略されてしまうと結局私も最後までわからず解決に困ることが有ります。 そのときは、補足で「ここがわからない」としてもらえるとありがたいです。 人が書いたものを見つめているだけでは、頭に入らないものですよ。 問題2は、解答を見てでも手を動かしてみればわかると思います。 いずれにしても、「いろいろやってみる(試行錯誤)」が少ないと思います。 落ち着いて、自分で計算をきっちりやることを心掛けてください。

sayjuly
質問者

補足

すみません。 問題2は、解説文の中の「(1)を利用し」のところから分かりません。代入して通分、計算した結果なのでしょうか?私もやってみたのですが三乗がでてきていつまでも残ってしまい質問した次第です。 自分なりにも 相当やってみて質問しているのでその点つっこまれぬよう「やってみたこと」として質問文にかいているのですが、 足りないんですね。 自分でやってみた計算過程を全文書くか、画像添付したほうが良いでしょうか。 ご回答ありがとうございます。  

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