不等式の証明のとき方を

質問

「a,b,c,が正であるとき、ａ＾3+ｂ＾3+ｃ＾3≧3ａｂｃ
という問題でこの場合も（左辺）－（右辺）≧0にして計算すればいいのですか？そのとき最後はどんな形になるのでしょうか？

回答No.6

keikan · ベストアンサー

証明

題意よりa,b,cが正であることから

ａ＾3+ｂ＾3+ｃ＾3>=0
また
3ａｂｃも正
3ａｂｃ>=０

ここで、

(ａ＾3+ｂ＾3+ｃ＾3)－(3ａｂｃ)という式について考えてみる

第１、２カッコ内は０以上であることがわかっているが、
この時点では第１カッコ内と第２カッコのどちらが大きいかわからないのでこの式の結果が正とはいえない。

しかしこの式を因数分解してみる。（No3の回答引用）

a^3+b^3+c^3-3abc
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
=(a+b+c) × (1/2){(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}

となる

この式において
a+b+cは正

a+b+c＞＝０

(1/2){(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}において

(a-b)^2＞＝０、(b-c)^2＞＝０、(c-a)^2＞＝０

はあきらかである。

よって、
(1/2){(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}＞＝０

さらに
(a+b+c) × (1/2){(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}＞＝０
となる。

式を元に戻して

(ａ＾3+ｂ＾3+ｃ＾3)－(3ａｂｃ)＞＝０

となり、

ａ＾3+ｂ＾3+ｃ＾3　＞＝　3ａｂｃ

が、成立する。

証明終わり。

回答No.5

graduate_student

相加相乗を使ってみては？
a+b≧2aqrt(ab)を応用させましょう.

回答No.4

damegakusei

ちょっと反則な解法でしょうが、

（左辺）－（右辺）＝ｆ（a,b,c）として、
∂ｆ／∂ａ＝3a^2-3bcより、a^2=bcの時極小となる。
（∵∂^2ｆ／∂ａ^2＝6a>0）

同様に、b^2=acかつ、c^2=abの時、極小となるので、
それらを総合して、
最小となるには、少なくともa=b=cであり、
その条件を満たす時、必ずｆ＝０となる。
よってｆの最小値は０であり、ｆ≧０とわかる。

この解法は反則でしょうか？
ちなみに、∂ｆ／∂ａと言うのは、ｆはaとbとcの関数なのですが、b,cについては考えず、aにだけ注目して、・・・（略）・・・、と言う、編微分と言う操作です。
作業の内容としては微分と同じと思って問題無いです。

まともに変形のみで済ます方法を考えたのですが、思いつきませんでした。（汗

回答No.3

springside

公式を使いましょう。

a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)なので（この公式は、教科書か参考書にかいてあるでしょう）、

左辺-右辺
a^3+b^3+c^3-3abc
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
=(a+b+c) × (1/2){(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}
≧0 (∵a,b,cは正の数）

等号は、a-b=0, b-c=0, c-a=0のとき、すなわち、a=b=cのときに成立。

回答No.2

大明神（@bathbadya）

No.1です。
後から見ると変な書きこみをしてしまったみたいで、

（左辺）－（右辺）
を、正の数にしかならない式の和でしめすのかな？
・負の数になりそうなところを、＾2　でくくる。
・正の数（ａ,ｂ,ｃ）の剰余
これらの和で（左辺）－（右辺）を示すのかな？

回答No.1

大明神（@bathbadya）

（左辺）－（右辺）≧0
に、できるのかな？
両辺に正の数を足して、
（左辺）－（右辺）＋　Ｘ≧　Ｘ
の形にすることを考えたら？
で、（左辺）－（右辺）＋　Ｘ　と　Ｘ
が正の数になるようにする。
正の数・・・負の数になりそうなところ、
たとえば（ａ-ｂ）といったところを＾2　でくくるのかな？
・・・まったく自信なし。