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x+2y=6,x≧0,y≧0のとき、次の最大値と最小値を求めよ。 (1)xy (2)xの二乗+2yの二乗 問題集(サクシード)の問題なのですが自分では解けませんでした どなたか解答、解説よろしくお願いします

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  • spring135
  • ベストアンサー率44% (1487/3332)
回答No.2

x+2y=6,x≧0,y≧0 のグラフは書けましたか。要するに直線x+2y=6の0≦x≦6の範囲の点(x,y)について (1)xy,(2)x^2+2y^2を計算し、その最大最小を選べばよいのであって、 掛け算及び2乗の計算ができれば答えは出るはずです。 具体的にはxを0.1刻みで0~6の間を分割しxの各値に対してx+2y=6,すなわちy=-(x-6)/2を計算し、 各x,yに対して(1)xy,(2)x^2+2y^2を計算し、その最大最小を選べばよい。 このような試みは数学感を養うのに非常に有効です。 問題演習的には 0≦x≦6を意識しながらy=-(x-6)/2によって (1)P=xy=-x(x-6)/2=-[(x-3)^2-9]/2=9/2-(x-3)^2/2 x=3で最大値9/2,x=0または6で最小値0 (2)Q=x^2+2y^2=x^2+2((x-6)/2)^2=(3/2)[(x-2)^2+8] x=2で最小値12,x=6で最大値36

  • info222_
  • ベストアンサー率61% (1053/1707)
回答No.1

x+2y=6 …(A) x≧0,y≧0 …(B) (A)のx,yを(B)に代入することにより 0≦x≦6, 0≦y≦3 …(C) (1) (A)より x=6-2yなので  xy=(6-2y)y=-2(y^2-3y)=-2(y^2-3y+(3/2)^2-(9/4))   =-2(y-(3/2))^2+(9/2)   =f(y)とおく。 f(y)は上に凸の放物線だから  軸x=3/2は(C)の範囲に入るので  f(y)(0≦y≦3)は  y=3/2,x=3のとき、最大値f(3/2)=9/2をとる。  y=0,x=6 または y=3,x=0のとき、最小値f(0)=f(3)=0 をとる。 (2) x^2+2y^2=(6-2y)^2+2y^2  =6(y^2-4y+6)  =6(y-2)^2+12  =f(y)とおく。 f(y)は下に凸の放物線だから  軸がy=2で(C)の範囲に入るから、  f(y)(0≦y≦3)は  y=2,x=2のとき、最小値f(2)=12をとる。  y=0,x=6のとき、最大値f(0)=36 をとる。

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