数学

質問

aは正の整数とする f(x)=xe^(-x+1)、g(x)={log(ax+1)}^2
y=f(x)をC1、y=g(x)をC2とし、原点をOとする
C2はA(1,f(1))を通る

（1）aの値を求めよ
（2）C1と線分OAで囲まれた面積Sを求めよ
（3）0<ｘ<1におけるC2の凹凸を調べよ
また、C2と線分OAで囲まれた面積TとSの大小を比較せよ
2.7<e<2.8であることは用いてよい

回答No.1

info33 · ベストアンサー

(1)
C1, C2は Aを通る
f(1)=1*e^0=1, g(1)={log(a+1)}^2
A(1,f(1))=A(1,1)=A(1,g(1))
g(1)={log(a+1)}^2=1,
a>0,log(a+1)>0
log(a+1)=1=log(e),
a+1=e, ∴ a=e-1

(2)
0<x<1で f(x)=xe^(-x+1)>x なので

S=∫[0,1] (f(x)-x)dx=∫[0,1] (xe^(-x+1)-x)dx
=∫[0,1] (ex*e^(-x)-x)dx
= [-exe^(-x) -e*e^(-x) -(1/2)x^2] [0,1]
= e -5/2 ... (Ans.)

(3)
(1)より a=e-1 なので
g(x)={log((e-1)x+1)}^2 >0 (0<x<1)
g(0)=0, g(1)=1.
g'(x)=2(e-1){log((e-1)x+1)}/((e-1)x+1)>0 (0<x<1) ... 単調増加
g''(x)=2(e-1)^2{1-log((e-1)x+1)}/((e-1)x+1)^2 >0(0<x<1) ... 下に凸
g(x)<x (0<x<1)
T=∫[0,1] (x-g(x))dx=∫[0,1] (x-(log((e-1)x+1))^2)dx
= ...
= (1/2) (3-e) /(e-1)
S-T=(e^2-3*e+1)/(e-1)=e-1 -e/(e-1)=0.136...>0
∴ S>T

お礼

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