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数学
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(1) C1, C2は Aを通る f(1)=1*e^0=1, g(1)={log(a+1)}^2 A(1,f(1))=A(1,1)=A(1,g(1)) g(1)={log(a+1)}^2=1, a>0,log(a+1)>0 log(a+1)=1=log(e), a+1=e, ∴ a=e-1 (2) 0<x<1で f(x)=xe^(-x+1)>x なので S=∫[0,1] (f(x)-x)dx=∫[0,1] (xe^(-x+1)-x)dx =∫[0,1] (ex*e^(-x)-x)dx = [-exe^(-x) -e*e^(-x) -(1/2)x^2] [0,1] = e -5/2 ... (Ans.) (3) (1)より a=e-1 なので g(x)={log((e-1)x+1)}^2 >0 (0<x<1) g(0)=0, g(1)=1. g'(x)=2(e-1){log((e-1)x+1)}/((e-1)x+1)>0 (0<x<1) ... 単調増加 g''(x)=2(e-1)^2{1-log((e-1)x+1)}/((e-1)x+1)^2 >0(0<x<1) ... 下に凸 g(x)<x (0<x<1) T=∫[0,1] (x-g(x))dx=∫[0,1] (x-(log((e-1)x+1))^2)dx = ... = (1/2) (3-e) /(e-1) S-T=(e^2-3*e+1)/(e-1)=e-1 -e/(e-1)=0.136...>0 ∴ S>T
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