数学の質問です。

質問

Ｏを原点とする座標平面上に円Ｃ1：x二乗＋ｙ二乗－12x－16ｙ＋96=0がある。
（1）円Ｃ1の中心の座標と半径を求めよ。
（2）円Ｃ1の中心をAとする。また、次の[1]～[3]の全ての条件を満たす円をＣ2とする。

　　[1]中心が線分ＯA上にある。
　　[2]半径が3である。
　　[3]円Ｃ1と外接する。
　このとき、円Ｃ2の方程式を求めよ。
（3）　（2）のとき、円Ｃ2の周および内部のうち、直線ＯAの下側（直線ＯA上の点を含む）の部分をDとする。点（x.ｙ）が領域Dを動くとき、ｙ－mxの最大値をmを用いて表せ。ただし、mは正の定数とする。

回答No.5

info22_ · ベストアンサー

#2です。

A#2の円C2について

#3さん、指摘有難う。
指摘通り、円C2の中心は「線分」OA上にあるという条件なので
0≦t≦1となり、t=1/2の方の円
>
が答えで
t=3/2の方の円
>
はOAの延長線上に中心があるので「線分」OA上に中心がある円ではないのでこの円は答えから外して下さい。

>　t=1±(1/2)=3/2,1/2 ← 間違い
円C2の中心が線分OA上にあるから　0≦t≦1なので
　t=1/2　

>(★)に代入して
>　(x-9)^2+(y-12)^2=3^2 ...(◆) ←　削除
>または　　　　　　　　　　　　 ←　削除
>　(x-3)^2+(y-6)^2=3^2 ...(◆)
>[1],[2],[3]を満たす円C2は(◆)の２通りある。←×
正：[1],[2],[3]を満たす円C2は(◆)だけ（1通り）。

＃）野暮な条件の見落としミスで失礼致しました。

回答No.4

yyssaa

（1）円Ｃ1の中心の座標と半径を求めよ。
＞x^2+y^2-12x-16y+96=(x-6)^2+(y-8)^2+96-36-64=0
(x-6)^2+(y-8)^2=2^2、
よって、中心の座標はx=6,y=8、半径は2・・・答え
（2）円Ｃ1の中心をAとする。また、次の[1]～[3]の全ての条件を満たす円をＣ2とする。
　　[1]中心が線分ＯA上にある。
　　[2]半径が3である。
　　[3]円Ｃ1と外接する。
　このとき、円Ｃ2の方程式を求めよ。
＞線分OAの長さ=√(36+64)=√100=10
円Ｃ2の中心を点Pとすると
線分PAの長さ=5
よって点Pは線分OAの中点となり、P(3,4)から
円Ｃ2の方程式は(x-3)^2+(y-4)^2=3^2・・・答え
（3）　（2）のとき、円Ｃ2の周および内部のうち、直線ＯAの下側（直線ＯA上の点を含む）の部分をDとする。
点（x.ｙ）が領域Dを動くとき、ｙ－mxの最大値をmを用いて表せ。ただし、mは正の定数とする。
＞円C2と直線y=(4/3)xとの交点Q,Rを求める。
(x-3)^2+(y-4)^2=3^2にy=(4/3)xを代入、整理して
(x-3)^2+{(4/3)x-4}^2=3^2、これを解いてx=24/5,6/5から
Q=Q(6/5,8/5)、R=R(24/5,32/5)
y-mx=Cとおくとy=mx+C
4/3≦mのときは点(x,y)が点QでCが最大になるので、
y-mxの最大値=(8/5)-(6/5)m=(8-6m)/5・・・(ア)
0＜m＜4/3のときは点(x,y)が点RでCが最大になるので、
y-mxの最大値=(32/5)-(24/5)m=(32-24m)/5・・・(イ)
よって、y-mxの最大値は
4/3≦mのとき(8-6m)/5、0＜m＜4/3のとき(32-24m)/5・・・答え

回答No.3

yyssaa

＃２さんへ
[1],[2],[3]を満たす円C2は(◆)の２通りある。
とありますが、
[1]中心が線分ＯA上にある。
ので、C2は１通りではありませんか？

回答No.2

info22_

(1)
x^2+y^2-12x-16y+96=0
(x-6)^2+(y-8)^2=36+64-96
(x-6)^2+(y-8)^2=2^2
C1の中心座標A(6,8),半径2

(2)
C2の中心の座標を(6t,8t)(t<1)とおくとC2の方程式は
(x-6t)^2+(y-8t)^2=3^2　...(★)
と書ける。[3]の条件から
　(2+3)^2=(6-6t)^2+(8-8t)^2
　25=(36+64)(t-1)^2
　(t-1)^2=1/4
　t=1±(1/2)=3/2,1/2
(★)に代入して
　(x-9)^2+(y-12)^2=3^2 ...(◆)
または　
　(x-3)^2+(y-6)^2=3^2 ...(◆)
[1],[2],[3]を満たす円C2は(◆)の２通りある。

(3)
(2)の２つの円のそれぞれについて領域Dを
直線:y-mx=kが通るようなkの最大値求めれば良い。

m(>0)の値により場合分けする必要がある。

回答No.1

gohtraw

ｘ＾２＋ｙ＾２－１２ｘ－１６ｘ＋９６＝（ｘ－６）＾２＋（ｙ－８）＾２－４
（ｘ－６）＾２＋（ｙ－８）＾２＝４

よってＣ１は（６，８）を中心とする半径２の円です。

直線ＯＡはｙ＝４ｘ／３で表わされるので、Ｃ２の中心の座標は（ｔ、４ｔ／３）と表わされます。また、Ｃ１と外接することより、Ｃ２の中心と点Ａの距離は５になります。従って
（ｔ－６）＾２＋（４ｔ／３－８）＾２＝２５
ｔ＾２－１２ｔ＋２７＝０
（ｔ－３）（ｔ－９）＝０
ｔ＝３，９
よってＣ２は（ｘ－３）＾２＋（ｙ－４）＾２＝９　または（ｘ－９）＾２＋（ｙ－１２）＾２＝９

ｙ－ｍｘ＝ｋ　とおくと、ｙ＝ｍｘ＋ｋ　と変形出来ます。これは傾きｍ、ｙ切片ｋの直線の式です。従って、ｋの最大値を求めることは、直線ｙ＝ｍｘ＋ｋが領域Ｄと共有点を持ちながら座標平面上を色々動くときにそのｙ切片の最大値を求めることに他なりません。ｙ切片が最大になるところを探すのだから、直線を出来るだけ上に上げて、領域Ｄと共有点がなくなるぎりぎりのところがどこか探せばいいわけです。

図を書いて確認して欲しいのですが、ｍの大きさによって上記のぎりぎりのところは変わってきます。
ｍが４／３より小さいとき、ぎりぎりの共有点は
円（ｘ－９）＾２＋（ｙ－１２）＾２＝９と直線ＯＡの交点のうち原点から遠い方になります。その座標は
Ｃ２の中心（９，１２）から３の距離にあればいいので
（９＋９／５、１２＋１２／５）＝（５４／５、７２／５）
となります。この座標をｙ＝ｍｘ＋ｋに代入して
７２／５＝５４ｍ／５＋ｋ
ｋ＝（７２－５４ｍ）／５

ｍが４／３より大きい場合、ぎりぎりの共有点は
円（ｘ－３）＾２＋（ｙ－４）＾２＝９と直線ＯＡの交点のうち、原点に近いほうになります。その座標はＣ２の中心（３，４）から３の距離にあればいいので・・・　あとは上記と同じなのでご自分で。

ｍ＝３／４のとき、ぎりぎりのところは直線ｙ＝ｍｘ＋ｋが直線ＯＡと重なるときで、このときｙ切片つまりｋはゼロとなります。