放物線と直線の交点を利用した数学問題の解法について
- この質問は、放物線 y=x^2 と直線 y=x の交点を利用した数学問題についてのものです。
- 問題の(1)と(2)を理解できたが、(3)について疑問を持っている。
- 解答では、面積Sを変数tではなく、変数sで積分する必要がある。なぜtではなくsで積分するのかわからない。
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数学IIICの問題です。
放物線 y=x^2 と直線 y=x の交点のうち原点O以外の点をAとする。 放物線のOとAを両端とする部分を曲線Cとする。線分OA上の点をPとしOPの長さを s とする。 Pを通りOAに垂直な直線とCとの交点を Q(t,t^2) とする。 (1) s とt の関係および s と t のとり得る値の範囲を求めよ。 (2) PQを y=x の周りに1回転させた円の面積Sを求めよ。 (3) OAとCで囲まれた図形を直線 y=x の周りに回転させたときの回転体の体積Vを求めよ。 この問題の(1)(2)は理解できたのですが、 (3)の問題が理解できません。 (2)で出したSをなぜそのまま0≦t≦1で積分してはいけないんでしょうか? V=∫(0~1) S dt ではなぜだめなのかと言うことです。 また解答では V=∫(0~√2) S dsとしているのですが、 なぜ s だとそのまま積分の式を立てられ、なぜtではできないのかがわかりません。 ラージS と スモールsは別物ですよね? 教えてください。
- kilandkip
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- 数学・算数
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線形代数的に言うと、基底ベクトルの違い。 sは線分OP方向に基底を持っているのに対し、tはx方向に基底を持っている。 題意は、y = x を回転中心としているので、y = x の直線に沿って積分をしなければならない。 「sは長さを表す」というのはヒントで、これに沿って積分しなさいという意味が込められている。 教科書では当たり前のようにx軸に沿って積分する解説がなされているので、理解しづらいのはよく分かる。大学で習う「線積分」に近い問題。 tでも積分できるが、積分する方向がx軸方向ではないから変数変換をする必要が出てくる。S(t)->S(s)、dt->ds にすると、結果としてsで積分することと同じになる。
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- noname2727
- ベストアンサー率35% (40/112)
もし、行列を習っているのでしたら、回転行列を使って、-π/4回転させてから、回転軸をx軸に移して考えるとわかりやすいと思いますよ。 そうすれば、普通の回転体の体積になります。
- f272
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イメージで書けば (体積V)=((断面積S)*(微小高さds))を足し合わせたもの ということだ。高さは断面積に垂直に測らないといけないだろう。tだと45度傾いた方向の高さになっている。
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