数学の積分？面積？に関する問題なのですが・・・

質問

数学の積分？面積？に関する問題なのですが・・・

放物線C:y=x^2上の点A(a, a^2), B(b, b^2) をとる。ただし、b<0<aとする。

(1)放物線Cの点Aにおける接線と点Bにおける接線の交点の座標を求めよ。
(2)放物線Cと直線ABで囲まれる部分の面積Sを求めよ。
(3)三角形OABの面積をTとするとき、T/Sがとりうる値の最大値を求めよ。ただしOは原点(0, 0)である。

積分というものが正直よくわかりません。
なのでどなたか解説お願いします。

回答No.2

gohtraw · ベストアンサー

（１）ｙ＝ｘ＾２を微分するとｄｙ／ｄｘ＝２ｘなので、Ａ、Ｂにおける接線の傾きはそれぞれ２ａ、２ｂです。従って二本の接線の式はそれぞれｙ＝２ａｘ＋α、ｙ＝２ｂｘ＋βと表されます。これらの接線は当然ながらＡ，Ｂを通るのでこれらの式にＡ、Ｂの座標をそれぞれ代入するとα、βを求めることができます。二本の接線の式が判ったら両者を等しいとおくと交点の座標が判ります。
（２）ＡＢの傾きは（ａ＾２－ｂ＾２）／（ａ－ｂ）＝ａ＋ｂなのでＡＢの式はｙ＝（ａ＋ｂ）ｘ＋γと表され、これがＡを通ることからＡの座標を代入するとγ＝－ａｂとわかります。面積を求める領域ではＡＢのほうがＣよりも上にあるので、ＡＢの式からＣの式を引いた（ａ＋ｂ）ｘ－ａｂ－ｘ＾２をｂからａまで積分すればＳが求められます。
（３）上記の結果より、ＡＢのｙ切片は－ａｂです。ＡＢとｙ軸の交点をＤとすると三角形ＤＯＢとＤＯＡの面積はそれぞれ－ａｂ＾２、－ａ＾２ｂなので（ＯＤを底辺と考える）三角形ＯＡＢの面積Ｔは－ａｂ（ａ＋ｂ）で与えられます。

回答No.1

ROSSY4096

この問題で積分を利用するのは(2)のみです。積分の基礎ができている人なら、(2)は大して難しい問題ではありません。自力で解けるはずです（多少計算は面倒ですが）。しかしもし質問者さんが積分の計算そのものをよく理解されていないようなら、これを解くのは無理と言わざるを得ません。厳しいですが。
基礎がわからないのであれば、教科書を読んで独学されることを勧めます。
一応ヒントだけ与えておけば、(1)は微分、(2)は積分、(3)は相加相乗平均の関係を使います。