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高校数学 積分の面積に関する問題 

a>0とする。座標平面において、2点(0,-a^2),(0,-(2a+1)^2)から放物線y=x^2に引いた接線で傾きが正であるものをそれぞれm,nとする。 (1)この放物線とm,nで囲まれる部分の面積Sを求めよ。 (2)m,nおよびy軸で囲まれる部分の面積をTとするとき、S:T=4:27となるようなaの値を求めよ。 答:(1)(a+1)^3/12   (2)a=1/3   この途中式がわかりません。よろしくお願いします。

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>a>0とする。座標平面において、2点(0,-a^2),(0,-(2a+1)^2)から >放物線y=x^2に引いた接線で傾きが正であるものをそれぞれm,nとする。 接線mの接点をP1(p1,p1^2)、接線nの接点をP2(p2,p2^2)とする。 (P1,P2はy=x^2上の点で、p1>0,p2>0) y'=2xより、mの傾き=2p1,nの傾き=2p2 接線m:y+a^2=2p1(x-0)より、y=2p1x+a^2 接線n:y+(2a+1)^2=2p2(x-0)より、y=2p2x+(2a+1)^2 P1はm上の、P2はn上の点だから、 p1^2=2p1・p1+a^2 より、p1^2=a^2だから、 接線m:y=2p1+p1^2 p1>0だから、p1=a(a>0)…(1) p2^2=2p2・p2+(2a+1)^2より、p2=(2a+1)^2だから、 接線n:y=2p2x+p2^2  p2>0だから、p2=2a+1(>0)…(2) >(1)この放物線とm,nで囲まれる部分の面積Sを求めよ。 接線mとnの交点を求める。(x0,y0)とすると、 2p1x+p1^2=2p2x+p2^2より、 よって、x0=(1/2)(p1+p2)…(3) S=∫[p1~x0]{x^2-(2p1x+p1^2)}dx    +∫[x0~p2]{x^2-(2p2x+p2^2)}dx 積分して整理すると、 =(p2-p1)・x0^2-(p2^2-p1^2)・x0+(1/3)(p2^3-p1^3) =(p2-p1)・(1/12)(p2-p1)^2 =(1/12)(p2-p1)^3 =(1/12)(2a+1-a)^3 …(1)(2)より、 =(1/12)(a+1)^3 よって、S=(a+1)^3/2 >(2)m,nおよびy軸で囲まれる部分の面積をTとするとき、S:T=4:27となるような >aの値を求めよ。 A(0,-a^2),B(0,-(2a+1)^2), 接線mとnの交点C(x0,y0),Cからの垂線とy軸の交点をD(0,y0)とする。 (1)~(3)より、 x0=(1/2)(2a+1+a)=(1/2)(3a+1) △BCD=(1/2)×CD×BD=(1/2)×x0×{y0+(2a+1)^2} △ACD=(1/2)×CD×AD=(1/2)×x0×(y0+a^2) T=△BCD-△ACD =(1/2)×x0{y0+(2a+1)^2-y0-a^2} =(1/2)×(1/2)(3a+1)(3a^2+4a+1) =(1/4)(3a+1)^2(a+1) S:T=4:27より、 (1/12)(a+1)^3:(1/4)(3a+1)^2(a+1)=4:27 (3a+1)^2(a+1)=(9/4)(a+1)^3 4(3a+1)^2=9(a+1)^2 27a^2+6a-5=0 (9a+5)(3a-1)=0 a>0だから、a=1/3 図を描いて、計算を確認してみて下さい。

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>設問2 >T=∫[x=0~(3a+1)/2]{2ax-a^2-(2(2a+1)x-(2a+1)^2)}dx >=∫[x=0~(3a+1)/2]{-2(a+1)x+(a+1)(3a+1)}dx >=[x=0~(3a+1)/2][-(a+1)x^2+(a+1)(3a+1)x] >=-(a+1)(3a+1)^2/4+(a+1)(3a+1)^2/2 >=(a+1)(3a+1)^2/4 わざわざ積分することはなかったですね。 設問1の回答で、接線mとnの交点のx座標を求めているので、 Tは、線分ABを底辺とし、高さが接線mとnの交点のx座標である三角形の面積として 計算できますね。 よって、 T={(2a+1)^2-a^2}(3a+1)/4 =(3a^2+4a+1)(3a+1)/4 =(a+1)(3a+1)^2/4

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点A(0,-a^2)、点B(0,-(2a+1)^2)とする。 接線mが放物線と接する点Mを(s,s^2)、接線nが放物線と接する点Nを(t,t^2)とする。 このとき、 mの式は、y-s^2=2s(x-s)より、y=2sx-s^2 …… (1) nの式は、y-t^2=2t(x-t)より、y=2tx-t^2 …… (2) (1)は点Aを通るので、-a^2=-s^2より、s=a よって、(1)はy=2ax-a^2 …… (3) となる。 また、(2)は点Bを通るので、-(2a+1)^2=-t^2より、t=2a+1 よって、(2)はy=2(2a+1)x-(2a+1)^2 …… (4) となる。 (3)(4)の交点のx座標は、2ax-a^2=2(2a+1)x-(2a+1)^2より、 2(a+1)x=4a^2+4a+1-a^2=3a^2+4a+1=(a+1)(3a+1) a>0なので、両辺をa+1で割れる。 x=(3a+1)/2 S=∫[x=a~(3a+1)/2]{x^2-(2ax-a^2)}dx+∫[x=(3a+1)/2~2a+1]{x^2-(2(2a+1)x-(2a+1)^2)}dx =[x=a~(3a+1)/2][x^3/3-ax^2+a^2x]+[x=(3a+1)/2~2a+1][x^3/3-(2a+1)x^2+(2a+1)^2x] ={(3a+1)^3/24-a(3a+1)^2/4+a^2(3a+1)/2}-{a^3/3-a^3+a^3}+{(2a+1)^3/3-(2a+1)^3+(2a+1)^3}-{(3a+1)^3/24-(2a+1)(3a+1)^2/4+(2a+1)^2(3a+1)/2} =-a(3a+1)(a+1)/4-a^3/3+(2a+1)^3/3-(2a+1)(3a+1)(a+1)/4 =-a(3a^2+4a+1)/4-a^3/3+(2a+1)^3/3-(2a+1)(3a^2+4a+1)/4 =(-3a^3-4a^2-a)/4-a^3/3+(8a^3+12a^2+6a+1)/3-(6a^3+8a^2+2a+3a^2+4a+1)/4 ={(-9-4+32-18)a^3+(-12+48-33)a^2+(-3+24-18)a+(4-3)}/12 =(a^3+3a^2+3a+1)/12 =(a+1)^3/12 設問2 T=∫[x=0~(3a+1)/2]{2ax-a^2-(2(2a+1)x-(2a+1)^2)}dx =∫[x=0~(3a+1)/2]{-2(a+1)x+(a+1)(3a+1)}dx =[x=0~(3a+1)/2][-(a+1)x^2+(a+1)(3a+1)x] =-(a+1)(3a+1)^2/4+(a+1)(3a+1)^2/2 =(a+1)(3a+1)^2/4 S:T=4:27より、(a+1)(3a+1)^2=9(a+1)^3/4 a>0なので、両辺を(a+1)で割って整理する。 4(3a+1)^2=9(a+1)^2 4(9a^2+6a+1)=9(a^2+2a+1) 27a^2+6a-5=0 a={-3±√(9+135)}/27=(-3±12)/27=1/3,-5/9 a>0より、a=1/3

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