積分の応用です

質問

楕円ｘ^２/ａ^２＋ｙ^２/ｂ^２＝１の周上に
点Ｐ(ａｃｏｓシーター,ｂｓｉｎシーター)と点Ａ(ａ,０)をとる。
Ｏを原点とする時,２つの線分ＯＡ,ＯＰと弧ＡＰによって
囲まれる図形の面積Ｓは？？
ただし、0＜ｂ＜ａ、0＜シーター＜π/2とする。

という問題です。。
Ｓ＝∫[ａｃｏｓシーター,ａ]　ｂ/ａ・√(ａ^２－ｘ^２)　ｄｘ＋１/２・ａｃｏｓシーター・ｂｓｉｎシーター
の式から、その後をお願いします。。
答えは１/２・ａｂシーターです。
シーターが見つからずにそのまま書いているので、見にくい思いますがお願いします。。

回答No.2

springside · ベストアンサー

楕円がらみの問題は、#1さんのように、まず、適当に拡大・縮小して「円」の問題に直してから解けないか？　と考えてみるのが効率的です。それでうまくいけばＯＫで（この問題はまさにうまく行くパターン）、だめなら楕円のまま考えるとよいと思います。

さて、楕円のまま考える場合の積分ですが、以下のように置換するといいです。（このパターンの置換の方法は定石なので、覚えておいた方がいいです。）

∫[acosθ,a]√(a^2-x^2)dxに関し、x=acostと置換する。
xがacosθからaまで変化するとき、tはθから0まで変化する。
また、dx = -asintdtなので、上記積分は、
∫[θ,0]√(a^2-a^2cos^2t)・(-asint)dt
=-∫[θ,0]a^2√(1-cos^2t)・sintdt
=a^2∫[0,θ]sin^2tdt
=a^2∫[0,θ]{(1-cos2t)/2}dt
=a^2/2[t-1/2・sin2t][0,θ]
=a^2/2(θ-1/2・sin2θ)

お礼

毎回答えてくださって、ありがとうございます。。
円の問題に直してから～という解き方もあるんですね？！
ホント助かりました。。
ありがとうございます。。

回答No.1

oshiete_goo

半径aの円の中心角θの部分の扇形の面積S＝(1／2)a^2・θ
なので，これをｙ軸方向にb／a倍に拡大（といっても0＜b／a＜１より実は縮小）したものが求める図形と一致するので，
求める面積S'＝S・(b／a)＝(1／2)abθ

積分するなら，積分変数をθに変えて．．．
ｄｘ＝－asinθｄθ
以下略

お礼

ありがとうございました！！