幾何学です。

質問

1.
原点を通り、２直線
a 　x+1=y=z-2
b 　(x+1)/4=y/2=z-1
の両方に交わる直線の方程式を求めよ。

2.
楕円　x^2/a-2+y^2/b^2=1
上の点と２焦点の距離の和は一定であることを示せ。
※ a>b 　e=sqrt[1-b^2/a^2] 　x=acosθ　y=bsinθ　とおいて計算せよ。

１についてです。
直線a,bの両者に対して垂直な直線を求めて…の方針でやってみたのですが、どうにも行きづまってしまっています。。方針違いでしょうか…よろしくお願いします。

２についてです。
焦点のx座標をae 、-aeとおいて、焦点から楕円上の点までの距離を各々、
sqrt[(acosθ-ae)^2+(bsinθ)^2]、
sqrt[(acosθ+ae)^2+(bsinθ)^2]、
として解いていっています。
最終的に、色々な文字が消えて、答えは2aになると思うのですが、式が複雑になるばかりで。。

幾何学初心者なので初歩的な所かもしれないですが、どうぞよろしくお願いします。

回答No.1

debut · ベストアンサー

1.
考え方は、交点では２つの直線において、x,y,z座標はそれぞれ
等しくなる、ということです。

求める直線は原点を通るから x/A=y/B=z/Cとできます。
x+1=y=z-2=s・・・(1)
(x+1)/4=y/2=z-1=t・・・(2)
x/A=y/B=z/C=u・・・(3)　とおくと、

(1)と(3)が交わるからそれぞれのx座標x=s-1とx=Auは等しいので、
s-1=Au・・・(4)。
同様にy,z座標についてもいえるから、
s=Bu・・・(5)
s+2=Cu・・・(6)
これらからs,uを消去して　2A-3B+C=0・・・(7)
同じことを、(2)と(3)についておこなって、2A-5B+2C=0・・・(8)
(7)(8)から、B,CをそれぞれAで表し、一番最初の直線の式に代入します。
そして最後にAをかけてAを消します。

2.
ae=√(a^2-b^2)と、(sinθ)^2=1-(cosθ)^2を使えば、
√[(acosθ-ae)^2+(bsinθ)^2]
=√[(a^2-b^2)(cosθ)^2-{2a√(a^2-b^2)}cosθ+a^2]
=√[{√(a^2-b^2)}cosθ-a]^2
=｜√(a^2-b^2)}cosθ-a｜=｜aecosθ-a｜・・・(1)
同様に、√[(acosθ+ae)^2+(bsinθ)^2]=｜aecosθ+a｜・・・(2)
ここで、座標からae＜aであるし、-1≦cosθ≦1なのでaecosθ＜a
よって、(1)+(2)=-(aecosθ-a)+(aecosθ+a)=・・・

※2.の最後の方は、もっと厳密な場合わけが必要なのかもしれません。
a＞0としてやってます。

お礼

ありがとうございます。先ほどまで出先でしたので、帰宅しだい早速やってみました。

1.についてです
全く方針違いだったみたいですね…。
原点を通る　→　x/a=y/b=z/c　と、おく。
よく分かりました。

2.についてです。
私も同じ値になりました。ありがとうございます。

詳しくありがとうございました。今年から独学ではじめたものですから、四苦八苦しながらやっています。
これからも、この掲示板にお世話になると思いますが、よろしくお願いします。