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楕円上の点と2焦点の距離の和
楕円(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1上の点と2焦点の距離の和は、一定であることを以下の方針で示せ。Lをa,b,e,θを用いて表せ。 ただし、a>bと仮定し、e=√{1-(b^2/a^2)}と置く。 1.楕円上の点(acosθ,bsinθ)と2焦点の距離の和Lをa,b,e,θを用いて表せ。 2.Lを簡単にせよ。(ヒント:L^2の根号をはずすことによってθを消去できる) 楕円上の点をP,2焦点をF(c,0),F'(-c,0)と置くと PF+PF'ですよね。 2焦点の和って2aにですよね。 L=2a じゃダメ? PF=√(bsinθ)^2+(c-acosθ)^2 PF'=√(bsinθ)^2+(c+acosθ)^2 c=√(a^2-b^2) cをPF,PF'に代入すると二重根号になるし、計算できないし・・・。 でどのようにすれば良いのでしょうか? 教えて下さい。 よろしくお願い致します。
- show-ten
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- age_momo
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以前、全く同じ問題に答えたことがあります。 やはり L=2ae*cosθ となって悩んでいました。 補足と私の回答を参照ください。
- kakkysan
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焦点の定義は? c=ae に注目! F(ae、0) , F'(-ae、0) L=PF+PF'=√(bsinθ)^2+(ae-acosθ)^2+√(bsinθ)^2+(ae+acosθ)^2 L^2=2(bsinθ)^2+2a^2(e^2+cos^2θ) +2{√(bsinθ)^2+(ae-acosθ)^2×√(bsinθ)^2+(ae+acosθ)^2 右辺の√の式=L^2-{2(bsinθ)^2+2a^2(e^2+cos^2θ)} 両辺2乗して根号をはずす。(後の計算はお任せします)
お礼
回答ありがとうございます。 c=ae 確かにそうですね。 計算やってみます。 なんとなくすべて計算していくと L=2aとかになったりする気がしてきました。
補足
計算しました。そしたら余計こんがらがってきて・・・。 そこでPFをもう少しきれいな形にしてみました。 PF=√{(b^2sin^2θ)+(a^2e^2)-(2a^2ecosθ)+(a^2cos^2θ)}←展開 =√{b^2(1-cos^2θ)+(a^2e^2)-(2a^2ecosθ)+(a^2cos^2θ)} ↑sin^2=1-cos^2θ =√{(a^2-b^2)cos^2θ-(2a^2ecosθ)+(a^2e^2)+b^2} ↑cos^2θの順番に並び替えた =√{(a^2*e^2cos^2θ)-(2a^2ecosθ)+a^2-b^2+b^2} ↑a^2-b^2=a^2*e^2を代入 =√{(a^2*e^2cos^2θ)-(2a^2ecosθ)+a^2} =√{(a*e*cosθ-a)^2} =a(ecosθ-1) 同様に PF'=a(ecosθ+1) L=PF+PF'=2aecosθ となったのですが、根号とかすでになくなってしまって・・・。 L^2してないのですがこのやり方ではダメなのでしょうか? やはり、NO.2さんとNO.3さんの言ってるように 根号がある状態で2乗しないといけないんでしょうか? もうひとつ疑問で、上のようにやってもL=2aにならなかったのは どうしてなのでしょうか? すいません質問ばかりしてしまって・・・。
- kabaokaba
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確かに問題がおかしい. 楕円の定義を方程式そのものにすれば つじつまがあうけども, 今度は焦点の定義が問題になる それに a>b を仮定していれば L=2a はそもそもの定義だから正解 eのことを離心率というのだが これはLの計算には出てこない. まあ,ごりごり計算するならば >PF=√(bsinθ)^2+(c-acosθ)^2 >PF'=√(bsinθ)^2+(c+acosθ)^2 >c=√(a^2-b^2) L = PF+PF' をまず二乗する そしてその結果を PF・PF'=・・・・ の形に変形して,これを二乗する. すると,何かがでてくるはずだ(計算してないけど)
お礼
回答ありがとうございます。 計算してみます。
この問題はおかしいです。2点からの距離の和が一定というのが楕円の定義だからです。
お礼
回答ありがとうございます。 問題がおかしい?ということは答えがないのでしょうか?
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- 数学・算数
お礼
回答ありがとうございます。 理解できました。 たしかにそうですね。 PF=cosθ√(a^2-b^2)-a だとPFが負になってしまいますね。