一平面上で2定点(焦点)からの距離の和が一定な点

質問

一平面上で2定点(焦点)からの距離の和が一定な点の軌跡が楕円である。このことを使って、 回転楕円体の1つの焦点に置いた点光源から出た光はすべてもう一つの焦点に集まることを示せ(焦点の名はこれに由来する)。
どなたか教えてください。

回答No.3

htms42 · ベストアンサー

楕円を　(ｘ／ａ)^2＋(ｙ／ｂ)^2＝１　（ａ＞ｂ）　とします。
焦点Ｆ、Ｆ'の座標は（ｆ，０）、（－ｆ，０）、ｆ^2＝ａ^2－ｂ^2　です。
楕円上の点Ｐの座標を（ｐ、ｑ）とします。

（１）点Ｐでの接線の勾配を求めます。
（２）点Ｐを通る接線に垂直な直線を求めます。
（３）この直線とｘ軸との交点Ｘの座標を求めます。
（４）Ｆ'Ｐ／ＦＰ＝Ｆ'Ｘ／ＸＦ
　　　であれば
　　　∠Ｆ'ＰＸ＝∠ＸＰＦ
　　　です。
　　　これは片方の焦点Ｆ'を出た光が楕円上の点Ｐに当たると
　　　もう一つの焦点Ｆに戻ってくるということを表している関係になっています。
　　　（入射角＝反射角の関係です。）

お礼

なんとか理解できました。何度もお付き合い頂き、ありがとうございました！

補足

焦点Ｆ、Ｆ'の座標は（ｆ，０）、（－ｆ，０）、ｆ^2＝ａ^2－ｂ^2　です。
ｆ^2＝ａ^2－ｂ^2　にどうしてなるのでしょうか？焦点Ｆ、Ｆ'の座標は（ｆ，０）、（－ｆ，０）になるのもわかりません。

回答No.6

htms42

＃５の補足について

角の二等分線についての定理を見てもらうといいでしょう。
面積の関係を使っても相似形を使っても出てきます。

http://yosshy.sansu.org/theorem/kaku2tobun.htm

回答No.5

htms42

＃３です。

＞ｆ^2＝ａ^2－ｂ^2　にどうしてなるのでしょうか？焦点Ｆ、Ｆ'の座標は（ｆ，０）、（－ｆ，０）になるのもわかりません。

楕円の定義：２つの点からの距離の和が一定である点の軌跡
これから出てくることです。
図を書くと分かります。
距離の和を２Ｌと置きます。ａ＝Ｌになります。

＃３での方法は式の変形が面倒ですので＃１のＵＲＬにある方法の方がいいでしょう。
それで＃４を書きました。
でもこの補足質問を読むとＵＲＬにある方法も理解するのがしんどい状況であるかもしれませんね

補足

Ｆ'Ｐ／ＦＰ＝Ｆ'Ｘ／ＸＦ
　　　であれば
　　　∠Ｆ'ＰＸ＝∠ＸＰＦ
　　　です。
何度も補足すみません。どうしてこうなるのかよくわかりません。

回答No.4

htms42

＃１に示されているＵＲＬの中の文章についてです。

＞つまり、s上の点を考えるとFからF'にいたる距離はPで最小になる。これは光の反射と同じだから、∠α＝∠β。つまり、片方の焦点から出た光は、だ円状で反射すると、必ず別な焦点を通ることになる。

この文章では
「距離はＰで最小になる」⇒「光の反射と同じ」⇒「∠α=∠β」　　（Ａ）
となっています。
でも普通は光の反射と同じであるというのは角度の関係から示すという流れではないでしょうか。
入射角=反射角という性質です。そうだとすると次のようになります。
「距離はＰで最小になる」⇒「∠α＝∠β」⇒「光の反射と同じ」　　（Ｂ）

最初の⇒の部分は
（Ａ）だと「フェルマーの定理」が必要になります。
（Ｂ）は直線に対して対称な点を取ることで直ぐに導くことができます。

回答No.2

nananotanu

定点(焦点)からの距離の和が一定な点の軌跡、を手作業で作図しようとしたら、どうしたらいい？
つまり、１つの定点からの距離が一定な点の軌跡、だったらコンパスを使って描くように、道具を使って描くとしたら？？？

　＊＊＊＊＊＊チョット考えてね。答えはこの下＊＊＊＊＊＊

2つの焦点を両端とする、距離の和を長さとする、紐を用意して、鉛筆でそれがぴんと張るように引っ張りながら動かしてその軌跡を描くんだよ。その様子はまさに、1つの焦点から出た光が楕円の部分で反射されて、もう1つの焦点に進む(像を結ぶ)姿ではありませんか！

回答No.1

chie65535

ご参考。
http://www.s-yamaga.jp/nanimono/sonota/ellipse.htm