締切済み

楕円

2011/03/22 19:10

楕円：ｘ^2／ａ^2＋ｙ^2／ｂ^2＝1(ａ＞ｂ＞0)上の任意の点の座標は、適当なθ(0≦θ＜2π)を用いて(ａcosθ、ｂsinθ)と表せることを示せ。よろしくお願いします！

shocoraxarisa
お礼率21% (4/19)

数学・算数
回答数1
ありがとう数0

みんなの回答 （1）
専門家の回答

みんなの回答

alice_44
ベストアンサー率44% (2109/4759)

2011/03/22 19:56 回答No.1

u=x/a, v=y/b と置くと、与式 ⇔ uu+vv=1 となる。この u, v が u=cosθ, v=sinθ で表せることの証明をどう書けばよいかは、 sin, cos をどのような形式で定義したかによって異なる。補足に、貴方が教わった sin の定義を書けば、それに即した証明を考えてみましょう。

関連するQ&A

楕円の円周上の座標を求める計算式を教えて下さい。

原点（0,0），長軸ａ，短軸ｂとする楕円上で、原点から角度シータの位置にある楕円の円周上の座標（ｘ，ｙ）を求める計算式を教えて下さい。単純に、acosθ，bsinθで求めると、なんだか座標値がおかしくなるのですが。
楕円上の点と２焦点の距離の和

楕円(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1上の点と2焦点の距離の和は、一定であることを以下の方針で示せ。Ｌをa,b,e,θを用いて表せ。ただし、a>bと仮定し、e=√{1-(b^2/a^2)}と置く。 1.楕円上の点(acosθ,bsinθ)と2焦点の距離の和Ｌをa,b,e,θを用いて表せ。 2.Ｌを簡単にせよ。(ヒント：Ｌ^2の根号をはずすことによってθを消去できる) 楕円上の点をＰ，2焦点をF(c,0)，F'(-c,0)と置くと PF+PF'ですよね。 2焦点の和って2aにですよね。 L=2a　じゃダメ？ PF=√(bsinθ)^2+(c-acosθ)^2 PF'=√(bsinθ)^2+(c+acosθ)^2 c=√(a^2-b^2) cをPF,PF'に代入すると二重根号になるし、計算できないし・・・。でどのようにすれば良いのでしょうか？教えて下さい。よろしくお願い致します。
幾何学です。

1. 原点を通り、２直線 a 　x+1=y=z-2 b 　(x+1)/4=y/2=z-1 の両方に交わる直線の方程式を求めよ。 2. 楕円　x^2/a-2+y^2/b^2=1 上の点と２焦点の距離の和は一定であることを示せ。 ※ a>b 　e=sqrt[1-b^2/a^2] 　x=acosθ　y=bsinθ　とおいて計算せよ。１についてです。直線a,bの両者に対して垂直な直線を求めて…の方針でやってみたのですが、どうにも行きづまってしまっています。。方針違いでしょうか…よろしくお願いします。２についてです。焦点のx座標をae 、-aeとおいて、焦点から楕円上の点までの距離を各々、 sqrt[(acosθ-ae)^2+(bsinθ)^2]、 sqrt[(acosθ+ae)^2+(bsinθ)^2]、として解いていっています。最終的に、色々な文字が消えて、答えは2aになると思うのですが、式が複雑になるばかりで。。幾何学初心者なので初歩的な所かもしれないですが、どうぞよろしくお願いします。
楕円状の点と2焦点の距離の和

楕円x^2/a^2+y^2/b^2=1上の点と2焦点の距離の和は一定であることを以下の方針で示せ。ただしa>bと仮定し、e=√(1-b^2/a^2)とおく。 (1)楕円状の点(acosθ,bsinθ)と2焦点の距離の和Lを　a,b,e,θを用いてあらわせ。 (2)Lを簡単にせよ。うなっています・・・。そもそも「２焦点からの距離の和が一定である点の軌跡を楕円という」のではないでしょうか・・・？ああどうしよう。
いろいろな曲線

1.２定点（±c,0）からの距離の和が一定値2a(a>c)である点の軌跡が、円の標準形で表されることを確かめなさい。 sqrt((x-c)^2+y^2)+sqrt((x+c)^2+y^2)=2a ここで(x-c)^2+y^2+(x+c)^2+y^2=2(x^2+y^2+c^2)を使い (X+Y)^2+(X-Y)^2=2X^2+2Y^2により |sqrt((x-c)^2+y^2)-sqrt((x+c)^2+y^2)|=sqrt(4(x^2+y^2+c^2-a^2) ←この変形が理解できません。 2.楕円x^2/a^2+y^2/b^2=1の周上Pでの接線は、焦点F、F'と結ぶ角FPF'の外角をニ等分することを証明しなさい。楕円x^2/a^2+y^2/b^2=1楕円の周上の点を媒介変数表示x=acosθ,y=bsinθで表すと、接線の傾きは-bcosθ/acosθ 焦点を結ぶ直線の傾きはそれぞれbsinθ/(acosθ-c),bsinθ/(acosθ+c)(c=sqrt(a^2-b^2))これと接線とのなす角の正接は、前者が(absin^2θ+bcosθ(acosθ-c))/(asinθ(acosθ-c)-b^2sinθcosθ) ←この式が導出できません。 3.楕円x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)の外部の一点Pから楕円に引いた2本の接線が直交するような性質をもつ点Pの軌跡を求めなさい。楕円上の2点s(acosθ,bsinθ),(acosφ,bsinφ)での接線が直交するとすると a^2sinθsinφ+b^2cosθcosφ=0 両接点の交点の座標は x=a(sinφ-sinθ)/(cosθsinφ-sinθcosφ) y=b(cosθ-cosφ)/(cosθsinφ-sinθcosφ) x^2+y^2=[a^2(sin^2θ+sin^2φ)+b^2(cos^2θ+cos^2φ)]÷(cos^2θsin^2φ+sin^2θcos^2φ-2sinθcosθsinφcosφ) 分子の-2a^2sinθsinφ-2b^2cosθcosφは直交条件によって0になる。分母の(a^2+b^2)倍を分子から引くと　←どうしてそうするのかわかりません。　 2a^2sin^2θsin^2φ+2b^2cos^2θcos^2φ+2(a^2+b^2)(sinθcosθsinφcosφ)　←導出できず。 =2(sinθsinφ+cosθcosφ)(a^2sinθsinφ+b^2cosθcosφ)=0であり、 x^2+y^2=a^2+b^2　←導出できず。となる。多くて恐縮ですがご教示いただければと思います。
楕円計算で困っています

長径2a、短径2bの楕円があり、長軸と短軸の交点座標（いわゆる中心点）を(0,0)とするこの中心点からx軸からの角度αで直線を引き、楕円との交点座標を（x1,y1）とし、また、この座標がx軸に対して対称な座標を（x1,-y1）とするこの2点に対して楕円の接線を引いて、2つの線の角度をβとするこの条件で(x1,y1)座標と角度βを、a,b,角度αを用いて表現する方法はないでしょうか？色々考えてみたのですがどうも上手くいきません。どうかよろしくお願いします。
楕円の問題です。

【問題】楕円4x^2+9y^2=1の外部の点L(a,b)からこの楕円に引いた接線の接点をA,Bとし,ABの中点をMとする。 (1)Mの座標をa,bを用いて表せ。 (2)点Lが楕円x^2/9+y^2/4=1上を動く時,点Mの軌跡を求めよ。 ※（１）が分かれば、（２）はなんとかできそうな気がします！！できれば（１）を中心に解説お願いします（・∀・）
楕円

楕円｛(x＾2)/(a＾2)｝＋｛(y＾2)/(b＾2)｝=1（但しa>0,b>0)の接線がx軸、ｙ軸と交わる点をそれぞれP,Qとするとき、線分PQの長さの最小値を求る問題で｛(x＾2)/(a＾2)｝＋｛(y＾2)/(b＾2)｝=1から楕円の公式より a>bのとき横長楕円で原点(0,0) 長軸の長さ2a 縦軸の長さ2b 焦点Ｆ１（ｃ，０）　　F2(-c,0) 直線上の点をＰとおくとPＦ１＋PF2＝2aを利用すると思うのですがよく分かりません参考書の解説を載せておきます接点の座標(x0,y0)とする。図形の対象性および接線が両軸と交わることからx0>0かつy0>0 {(x0x)/(a＾2)}＋{(y0y)/(b＾2)}=1 (PQ)＾2=【{(a＾4)/(x0＾2)}＋{(b＾4)/(y0＾2)}】*【{(x0)＾2/(a＾2)}＋{(y0)＾2/(b＾2)}】≧【{(a＾2)/(x0)}*{(x0)/(a)}*{(b＾2)/(y0)}*{(y0)/(b)}】＾2 =(a＋b)＾2 等号は {(a＾2)/(x0)}:{（b＾2)/(y0)}=(x0/a):y0/b) より (x0,y0)=【{√a＾3/a＋b)},{√b＾3/a＋b)}】のとき成立求める最小値はa＋b と書いてあるのですがよく分かりません。誰か教えてくれませんか？
２点を通る楕円の計算

２点を通る楕円を計算したい。楕円焦点Ｆ（０,０）に対して、点Ｐ１：座標（Ｘ１,Ｙ１）点Ｐ２：座標（Ｘ２＝Ｘ１＋Δｘ,Ｙ２＝Ｙ１＋Δｙ）が判っています。各数値は任意ですが、一応　Ｘ１＝０　とします。このような場合の「Ｐ１及びＰ２の２点を通過する楕円」の計算方法を教えて下さい。宜しくお願いします。
平面波の式を楕円の方程式に変形する方法

Ex=Acos(ωt+φx) Ey=Bcos(ωt+φy) (Ex、Eyは電界、φx、φyは位相、位相差をφ=φy-φxとする) この式を変形して楕円の方程式が得られることを証明するのが目標です。 φx=0の場合は加法定理で展開して Ex=Acosωtcosφx-Asinωtsinφx=Acosωt…(1) Ey=Bcosωtcosφy-Bsinωtsinφy…(2) (2)に(1)を代入して変形していき、 (Ex/A)^2-2ExEycosφy/AB+(Ey/B)^2=(sinφy)^2 と、楕円の方程式にできたのですが、 φxがあるとうまくωtを消すことが出来ません。そこで質問です。 φx=0とした場合、φ=φy-0でつまりφ=φyとなるので、このφx=0とした場合の楕円の方程式のφyをφに代えてφ=φy-φx…（φx≠0）の場合の楕円の方程式とすることはできないでしょうか。やはりこれでは証明にはならないでしょうか。ならないようなら式変形のヒントを頂けるとありがたいです。
積分の応用です

楕円ｘ^２/ａ^２＋ｙ^２/ｂ^２＝１の周上に点Ｐ(ａｃｏｓシーター,ｂｓｉｎシーター)と点Ａ(ａ,０)をとる。Ｏを原点とする時,２つの線分ＯＡ,ＯＰと弧ＡＰによって囲まれる図形の面積Ｓは？？ただし、0＜ｂ＜ａ、0＜シーター＜π/2とする。という問題です。。Ｓ＝∫[ａｃｏｓシーター,ａ]　ｂ/ａ・√(ａ^２－ｘ^２)　ｄｘ＋１/２・ａｃｏｓシーター・ｂｓｉｎシーターの式から、その後をお願いします。。答えは１/２・ａｂシーターです。シーターが見つからずにそのまま書いているので、見にくい思いますがお願いします。。
楕円振動の問題です

定点からの距離に比例する引力を受け一平面内を動く質点の運動を、直交座標を用いて調べよ。その軌道は定点を中心とする楕円になることを示せ。とゆう問題ですが、そのまんま運動方程式からx=Acos(wt+a) y=Bcos(wt+b)なんですが、これがなんで楕円になるのか分かりません。詳しい方教えてください。
楕円上の点と2焦点の距離の和Lを簡単にする方法

以前、似たような質問をされた方(2004.7.30)がいたので、その続きになってしまうのですが、楕円x^2/a^2+y^2/b^2=1上の点と2焦点の距離の和は一定であることを以下の方針で示せ。ただしa>bと仮定し、e=√(1-b^2/a^2)とおく。 (1)楕円状の点(acosθ,bsinθ)と2焦点の距離の和Lを　a,b,e,θを用いて表せ。　※これは解けました。　　答えが、L=2aecosθになりました。　　　　　（L=2cosθ√(a^2-b^2）) (2)Lを簡単にせよ。　(ヒント：L^2の根号を外すことによってθを消去できる。) …と書いてあったので、とりあえず二乗してみたのですが、θを消去する方法がわかりません。（頭が固いみたいです…）わかる方がいらっしゃいましたら、ヒント（ヒントのヒントになっちゃいますけど…）を教えて頂きたいです。宜しくお願いします。
回転した楕円を任意の直線に投影した長さの求め方

回転した楕円を任意の直線に投影した長さの求め方長軸を2a、短軸を2bとした場合の楕円x^2/a^2+y^2/b^2=1（楕円上の点は（a*cosθ、b*sinθ））を、長軸とx軸との角度φとして回転させ、原点を通る任意の直線（例えばx軸との角度ψが10度の直線）に投影した長さ（例えば、x軸（ψ=0）なら楕円が収まる長方形の横の長さ）の求め方が分かりません。今のところの考えでは、 (1)．回転後の楕円を求める。 ⇒x^2+y^2=a^2*(cosφ)^2+b^2*(sinφ)^2 （楕円上の点は（a*cosθ*cosφ-b*sinθ*sinφ、a*sinθ*cosφ+b*cosθ*sinφ）） (2)．投影する直線の式を求める。 ⇒？ (3)．(2)の直線と(2)の直線の垂線で楕円と1点で接する直線の交点の座標を求める。 (4)．(3)の点と原点との距離を算出し、投影した長さを求める。というように考えていますが、(2)のところで行き詰ってしまっています。長くなりましたが、・そもそも、この考えかたは合っているのでしょうか。・あっている場合、(2)以降を教えていただけると助かります。・他に計算が楽になる求め方は無いでしょうか。よろしくお願いします。
二つの囲まれた楕円の共通の面積を求める問題なのですが・・

二つの楕円(0<b<a) x^2/a^2+y^2/b^2=1・・・(1) x^2/b^2+y^2/a^2=1・・・(2)　　　　の共通部分の面積を求めよという問題なのですが途中で分からなくなります＜私の途中までの考え方＞第一象限での共通面積S'の4倍＝求めるべき共通面積よってS=4S' 第一象限において二つの楕円の交点を（s,t)とする。 (1)を整理して y=(b/a)√(a^2-x^2) (2)を整理して y=(a/b)√(b^2-x^2) S'＝∫[b→s](a/b)√(b^2-x^2)dx+∫[s→0](b/a)√(a^2-x^2)dx ここでsがab/√(a^2+b^2)という所までは分かりました。 ∫[b→ab/√(a^2+b^2)](b/a)√(a^2-x^2)dxを x=bsinθと置いて範囲は x;b→ab/√(a^2+b^2) θ;π/2→？ここのab/√(a^2+b^2)＝bsinθとした時のθが分からず詰まってしまいました。初歩的なことなのかもしれませんが・・・どなたか教えていただけないでしょうか？もしかすると”x=bsinθと置いて”の部分からすでに違うのでしょうか？ちなみに答えは4abtan^-1(b/a)です。
楕円の弧の長さ

楕円の弧の長さを求める計算がわかりません。 b>a>0のとき、x²/a²+y²/b²=1この楕円を　x=acosθ,y=bsinθを使って表した時、θが0からαまで動くときの楕円の弧Lの長さを求める時に、dx²+dy²を利用し、b>a>0のと仮定したので、1-(a/b)²=k² とおくことができ、そうすると楕円の弧の長さから　 ∫√1-k²sin²θdθ・・・(1) 　(√　のなかは1-k²sin²θ)という積分が登場するそうです。変数変換をsinθ=t として、cosθdθ=dt,第一象限にある弧長を求める限りでは、 cosθ＞0したがって、√1-sin²θdθ＝dt (√　のなかは1-sin²θ) ここからの計算がわからないのです。(1)はtに関する積分として　∫√(1-k²t²)/(1-t²)dt (√　のなかは(1-k²t²)/(1-t²))となるそうですが、(1+kt)(1-kt)/(1+t)(1-t)としてみたり、置換積分の説明を見たりしても、わかりませんでした。tに関する積分への、計算を教えてください。お願いします。
ヤコビアンの定義について

今解いている二重積分の問題があるのですが、積分領域が楕円の内部になっています。普通にxとyで積分領域を決めようとするとめちゃくちゃめんどくさくなります。そこでヤコビアンの定義を使ったら楽に解けるんではないかと思っているのですが、使えるんでしょうか？楕円のパラメータは x＝acosθ y＝bsinθ で、aとbで違ってくるので使えないでしょうか？教えてください！
平面上の任意の５点を使って、楕円の中心座標を求める方法

平面上の任意の５点（X１,Y１）…（X５、Y５）で、楕円の中心座標値を求めていのですが、どうすればいいのでしょうか？最低５点、あれば楕円は計算できると聞いたのですが。どなたか、お分かりになりますか？
楕円：(X^2/a^2)+(Y^2/b^2)=1

楕円：(X^2/a^2)+(Y^2/b^2)=1 において、接線とY軸の成す角θです。このとき、楕円と接線の接点の座標が点P(p,q)の場合、a,bを用いずにqを表すことは不可能でしょうか？
楕円内の三角形の面積

楕円2x^2+y^2=4上の点A(1,√2)をとる。直線l:y=ax+bは点Aにおける楕円の接線と平行で,楕円と相異なる2点で交わるものとする。次の問いに答えよ。 (1)　傾きaの値を求めよ。 (2)　直線lが楕円と相異なる2点で交わるようなbの範囲を求めよ。 (3)　楕円と直線lとの2交点をB、Cとする。bが(2)で求めた範囲を動くとき、△ABCの面積が最大となるbを求めよ。 (1)は-√2、と(2)は-2√2<b<2√2と問題なく解けました。(3)ですが、点B、Cの座標をbで表しB、C間の距離を求め、点Aと直線lの距離を出して面積をbで表せたのですが、その後の計算で√が出てきて困ってしまいました。そこの計算の仕方、あるいは別の面積の出し方などありましたら教えてください。

楕円

みんなの回答

関連するQ&A

楕円の円周上の座標を求める計算式を教えて下さい。

楕円上の点と２焦点の距離の和

幾何学です。

楕円状の点と2焦点の距離の和

いろいろな曲線

楕円計算で困っています

楕円の問題です。

楕円

２点を通る楕円の計算

平面波の式を楕円の方程式に変形する方法

積分の応用です

楕円振動の問題です

楕円上の点と2焦点の距離の和Lを簡単にする方法

回転した楕円を任意の直線に投影した長さの求め方

二つの囲まれた楕円の共通の面積を求める問題なのですが・・

楕円の弧の長さ

ヤコビアンの定義について

平面上の任意の５点を使って、楕円の中心座標を求める方法

楕円：(X^2/a^2)+(Y^2/b^2)=1

楕円内の三角形の面積

注目のQ&A

カテゴリ
一覧

専門家に質問してみよう
専門家登録

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVE セレクト

楕円

みんなの回答

関連するQ&A

楕円の円周上の座標を求める計算式を教えて下さい。

楕円上の点と２焦点の距離の和

幾何学です。

楕円状の点と2焦点の距離の和

いろいろな曲線

楕円計算で困っています

楕円の問題です。

楕円

２点を通る楕円の計算

平面波の式を楕円の方程式に変形する方法

積分の応用です

楕円振動の問題です

楕円上の点と2焦点の距離の和Lを簡単にする方法

回転した楕円を任意の直線に投影した長さの求め方

二つの囲まれた楕円の共通の面積を求める問題なのですが・・

楕円の弧の長さ

ヤコビアンの定義について

平面上の任意の５点を使って、楕円の中心座標を求める方法

楕円：(X^2/a^2)+(Y^2/b^2)=1

楕円内の三角形の面積

注目のQ&A

カテゴリ 一覧

専門家に質問してみよう 専門家登録

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVE セレクト

カテゴリ
一覧

専門家に質問してみよう
専門家登録