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ヤコビアンの定義について
今解いている二重積分の問題があるのですが、積分領域が楕円の内部になっています。普通にxとyで積分領域を決めようとするとめちゃくちゃめんどくさくなります。そこでヤコビアンの定義を使ったら楽に解けるんではないかと思っているのですが、使えるんでしょうか？楕円のパラメータは x＝acosθ y＝bsinθ で、aとbで違ってくるので使えないでしょうか？ 教えてください！
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図のヤコビアンの説明はマセマの参考書に載っていたものですが、ヤコビアンの説明で図のⅱのような表現は妥当なものなのでしょうか？ 確かに直交座標と極座標の微小な積分要素の関係は形式的には dxdy → rdrdθ という変換になっていますし、実際に積分計算を実行するときはヤコビアン r のおかげで r とθが極座標の変数であることを忘れ、あたかもr軸とθ軸による '直交座標' にある領域を定義域とする z = f(r,θ) を積分しているような気分になってはきますが、だからといって「極座標系」における領域D'なるものを、あからさまにr-θの「直交座標」で表していいものかどうかしっくりきません。 x = x(r,θ) = rcosθ y = y(r,θ) = rsinθ という座標変換を考えるとき、確かにr もθも任意の実数をとるけれども、θは位相を表すことを前提にしており、 drdθでは面積にならないことがわかっているわけで、そんなことを考えると、図のⅱはこれでいいのかと思ってしまうのです。
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補足
それでrの範囲を0≦r≦1にしてθを問題で与えられる領域にすればいいんですよね？