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ヤコビアンについて
図のヤコビアンの説明はマセマの参考書に載っていたものですが、ヤコビアンの説明で図のⅱのような表現は妥当なものなのでしょうか？ 確かに直交座標と極座標の微小な積分要素の関係は形式的には dxdy → rdrdθ という変換になっていますし、実際に積分計算を実行するときはヤコビアン r のおかげで r とθが極座標の変数であることを忘れ、あたかもr軸とθ軸による '直交座標' にある領域を定義域とする z = f(r,θ) を積分しているような気分になってはきますが、だからといって「極座標系」における領域D'なるものを、あからさまにr-θの「直交座標」で表していいものかどうかしっくりきません。 x = x(r,θ) = rcosθ y = y(r,θ) = rsinθ という座標変換を考えるとき、確かにr もθも任意の実数をとるけれども、θは位相を表すことを前提にしており、 drdθでは面積にならないことがわかっているわけで、そんなことを考えると、図のⅱはこれでいいのかと思ってしまうのです。
- musume12
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- ddtddtddt
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あなたのような疑問を持つのは当然だと思います。じっさいdxdyとdrdθは、幾何学的に別物なわけで・・・(^^;)。 で、別物なので、ざっくり言ってしまうと、dxdyとdrdθの比を表すのがヤコビアンという事になります。ヤコビアンを考慮すれば、形式的に図のⅱで考えても良いですよ・・・と。 便利ですよねって話です。計算を便利にするのが目的だったから・・・(^^;)。
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